《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

填空
(1) $2a^3 - 4a^2$ 各项的公因式是2a²。
(2) $12xyz - 9x^2y^2$ 各项的公因式是3xy。
(3) 分解因式：$3x^3y - 6x^2y^2 = $3x²y(x - 2y)。

答案：
(1)2a²；
(2)3xy；
(3)3x²y(x - 2y)

探究一 因式分解的定义
例 1 下列从左边到右边的变形,是因式分解的是(A)
A. $a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
B. $x^2 + 2x + 3 = x(x + 2) + 3$
C. $2x^2 + 4x + 2 = (2x + 2)(x + 1)$
D. $(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1$
名师导引 因式分解的实质是：把多项式的和差形式转化为乘积形式。注意分解要彻底。
变式训练 对于① $a - 2ab = a(1 - 2b)$,② $(a + 2)(a - 1) = a^2 + a - 2$ 从左到右的变形,表述正确的是(A)
A. ①是因式分解,②是乘法运算
B. ①是乘法运算,②是因式分解
C. ①②都是因式分解
D. ①②都是乘法运算

答案： 例1 答：选A.
解题步骤：
A. $a^{2}b + ab^{2} = ab(a + b)$，是将多项式转化为乘积形式，是因式分解。
B. $x^{2} + 2x + 3 = x(x + 2) + 3$，结果并不是乘积形式，不是因式分解。
C. $2x^{2} + 4x + 2 = 2(x + 1)(x+1（或简化为2(x+1)^2）)$（原题给的答案不是因式分解的彻底形式），虽然接近，但原式没有彻底分解为最简乘积形式（且题目要求注意分解要彻底），且选项给出形式并非彻底分解，故判断为错误。
D. $(x + 1)(x - 1) = x^{2} - 1$，是乘法公式展开，并非因式分解。
变式训练 答：选A.
解题步骤：
① $a - 2ab = a(1 - 2b)$，是将多项式转化为乘积形式，是因式分解。
② $(a + 2)(a - 1) = a^{2} + a - 2$，是乘法公式展开，并非因式分解。
所以①是因式分解,②是乘法运算。

探究二 用提公因式法分解因式
例 2 分解因式：
(1) $2x^2 - 6xy$；
(2) $-x^2 - xy + 2xm$；
(3) $6x(a - b) - 3y(b - a)$；
(4) $8q(1 - p)^2 - 4(p - 1)^3$。
名师导引 提公因式法有“三定”：① 定系数：各项的系数的最大公因数；② 定字母：各项中的相同字母；③ 定指数：相同字母的最低次幂。
变式训练 分解因式：
(1) $7x^2 - 21x = $$7x(x - 3)$；
(2) $x^2(y - 1)^2 - 2x(1 - y)^2 = $$x(y - 1)^2(x - 2)$。

答案： 答题卡：
(1) 例2：
(i) $2x^2 - 6xy = 2x(x - 3y)$
(ii) $-x^2 - xy + 2xm = -x(x + y - 2m)$
(iii) $6x(a - b) - 3y(b - a) = 3(a - b)(2x + y)$ （因为$b - a = -(a - b)$）
(iv) $8q(1 - p)^2 - 4(p - 1)^3 = 4(1 - p)^2(2q + (1-p)) = 4(1 - p)^2(2q + 1 - p)$ （因为$p - 1 = -(1 - p)$）
(2) 变式训练：
(i) $7x^2 - 21x = 7x(x - 3)$
(ii) $x^2(y - 1)^2 - 2x(1 - y)^2 = x(y - 1)^2(x - 2)$ （因为$1 - y = -(y - 1)$）

探究三 提公因式法的应用
例 3 计算：
(1) $2^{11} - 2^{10}$；
(2) $99^2 + 99$；
(3) $12.3×1.84 + 1.43×12.3 - 3.27×12.3$。
名师导引 观察题目的数字特点并采用提公因式法是解决此类计算问题的关键。
变式训练 计算：
(1) $4.6×5.3 + 5.3×5.4$；
(2) $201^2 - 201$。

答案：
(1)
$2^{11}-2^{10}$
$=2^{10}×(2 - 1)$
$=2^{10}×1$
$=1024$
(2)
$99^2 + 99$
$=99×(99 + 1)$
$=99×100$
$=9900$
(3)
$12.3×1.84 + 1.43×12.3 - 3.27×12.3$
$=12.3×(1.84 + 1.43 - 3.27)$
$=12.3×0$
$=0$
变式训练
(1)
$4.6×5.3 + 5.3×5.4$
$=5.3×(4.6 + 5.4)$
$=5.3×10$
$=53$
(2)
$201^2 - 201$
$=201×(201 - 1)$
$=201×200$
$=40200$