《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

证明两直角三角形全等,利用“HL”是最简单的方法,但切记要在表示三角形的符号“△”前面加上“Rt”.

答案： 假设题目为：如图，在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$中，$\angle C = \angle F = 90^{\circ}$，$AC = DF$，$AB = DE$，求证：$Rt\triangle ABC ≌ Rt\triangle DEF$。
答题：
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$中，
由于$\angle C = \angle F = 90^{\circ}$，
$AC = DF$（已知），
$AB = DE$（已知），
根据$HL$全等判定，在直角三角形中，如果一条直角边和斜边分别相等，则这两个直角三角形全等。
因此，$Rt\triangle ABC ≌ Rt\triangle DEF(HL)$。

如图,已知∠A = ∠D = 90°,E,F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB = CD,BE = CF. 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.

答案： 证明：
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
∵AB=CD，BF=CE，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）。

探究二 直角三角形全等的综合应用
例2 如图,已知∠ABC = ∠ADC = 90°,CB = CD,M是AC上任意一点. 求证：BM = DM.

答案： 证明：
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
∵CB=CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BCA=∠DCA。
在△BCM和△DCM中，
∵CB=CD，∠BCM=∠DCM，CM=CM，
∴△BCM≌△DCM（SAS），
∴BM=DM。

如图,过射线EF外一点D,作DE⊥EF,点A为射线EF上一点,在AF上截取AC = DE,作MC⊥EC,点D,M位于EF的同侧,连接AD,以A为圆心,AD长为半径画弧,交MC于B. 求证：
(1) △DAE≌△ABC；
(2) AD⊥AB.

答案：
(1)
∵DE⊥EF，
∴∠DEA=90°(垂直定义)．
∵MC⊥EF，
∴∠ACB=90°(垂直定义)．
∴△DAE和△ABC均为直角三角形．
由题意，AC=DE，AB=AD(以A为圆心AD为半径画弧，故AB=AD)．
在Rt△DAE和Rt△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AB\\ DE=AC\end{array}\right.$
∴Rt△DAE≌Rt△ABC(HL)．
(2)
∵△DAE≌△ABC，
∴∠DAE=∠ABC(全等三角形对应角相等)．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°(直角三角形两锐角互余)．
∴∠DAE+∠BAC=90°(等量代换)．
∵∠DAE+∠BAC=∠DAB，
∴∠DAB=90°，即AD⊥AB(垂直定义)．

1. 在课堂上,老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图)的卡片,然后要求同学们画一个Rt△A'B'C',使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC,小赵和小刘同学先画出了∠MB'N = 90°之后,后续画图的主要过程分别如图所示. 以下对这两种画法的描述错误的是(D)
A. 小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL
B. 小赵同学第二步作图时,用圆规截取的长度是线段AC的长
C. 小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是SAS
D. 小刘同学第一步作图时,用圆规截取的长度是线段AC的长

答案： D

2. 如图,∠B = ∠D = 90°,AB = AD,∠1 = 25°,则∠2的度数为(C)

A.25°
B.40°
C.65°
D.60°

答案： C