《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

例 2 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线, $ BE \perp AC $ 于点 $ E $. 求证: $ \angle CBE = \frac{1}{2} \angle BAC $.

答案： 证明：
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠CAD=1/2∠BAC，∠ADC=90°，
∴∠C+∠CAD=90°．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠CAD（同角的余角相等），
∴∠CBE=1/2∠BAC．

变式训练 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ EF $ 是 $ AB $ 边的垂直平分线, $ AD \perp BC $ 于点 $ D $,且 $ D $ 为 $ CE $ 的中点.
(1) 求证: $ BE = AC $;
(2) 若 $ \angle C = 70^{\circ} $,求 $ \angle BAC $ 的度数.

答案：
(1) 见解析；
(2) 75°

1. 如图,等腰 $ \triangle ABC $ 的顶角 $ \angle A $ 为 $ 40 $ 度,则它的底角 $ \angle B $ 为(A)

A.$ 70 $ 度
B.$ 60 $ 度
C.$ 50 $ 度
D.$ 40 $ 度

答案： A

2. 如图 1 是两位同学玩跷跷板的场景,图 2 是跷跷板示意图,支柱 $ OC $ 与地面垂直,点 $ O $ 是 $ AB $ 的中点, $ AB $ 绕着点 $ O $ 上下转动. 若 $ A $ 端落地时, $ \angle OAC = 20^{\circ} $,则跷跷板上下可转动的最大角度(即 $ \angle A'OA $)是(C)

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 50^{\circ} $
C.$ 40^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $

答案： C

3. 将一台带有保护套的平板电脑按图 1 的方式放置在水平桌面上,其侧面示意图如图 2 所示. 经测量 $ AB = 10\,cm $, $ BC = 12\,cm $,若移动支点 $ A $ 的位置,使 $ \triangle ABC $ 是一个等腰三角形,则 $ \triangle ABC $ 的周长为32cm或34cm.

答案： 32cm或34cm

4. 等腰三角形在力学中也有应用. 如图,已知梁架 $ AG $ 与架底 $ AH $ 形成 $ 16^{\circ} $ 的夹角,为了分解 $ AG $ 的受力,现将长度相等的钢条焊接在上面,即 $ BC = CD = DE = EF $,又知 $ AB = BC $,这样可以使得梁架 $ AG $ 不易变形. 根据以上条件求得 $ \angle GEF = $52$^{\circ} $.

答案： 52

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $, $ D $ 是 $ BC $ 边的中点,连接 $ AD $,点 $ E $ 是 $ BC $ 延长线上一点, $ CF $ 平分 $ \angle ACE $,连接 $ AF $,且 $ AF = AC $.
(1) 若 $ \angle CAD = 31^{\circ} $,求 $ \angle B $ 的度数;
(2) 求证: $ AF // BE $.

答案：
(1)
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。
∵∠CAD=31°，
∴∠BAC=2∠CAD=62°。
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠B=(180°-∠BAC)/2=(180°-62°)/2=59°。
(2)
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF=∠ECF。
∵AF=AC，
∴∠ACF=∠AFC（等边对等角）。
∴∠AFC=∠ECF。
∴AF//BE（内错角相等，两直线平行）。