《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

变式训练 如图,若例2中$E,F分别为AB,CA$延长线上的点,仍有$BE= AF$,其他条件不变,那么$DE与DF$具有怎样的关系? 证明你的结论.

答案： DE=DF且DE⊥DF.
证明：
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，D是BC中点（其他条件不变，隐含AB=AC，D为BC中点），
∴BD=CD，AD平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∠ABC=∠ACB.
设∠ABC=∠ACB=β，则∠BAC=180°-2β，∠BAD=∠CAD=90°-β.
∵E在AB延长线上，F在CA延长线上，
∴∠EBD=180°-∠ABC=180°-β（平角定义），
∠FAD=180°-∠CAD=180°-(90°-β)=90°+β（平角定义）.
又
∵∠BAC=180°-2β，∠FAB=∠ABC+∠ACB=2β（三角形外角性质），
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=2β+(90°-β)=90°+β，故∠EBD=∠FAD.
∵AD是等腰△ABC底边上的中线，
∴AD=BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，若∠BAC=90°，则AD=BD=CD）.
又
∵BE=AF（已知），
∴△EBD≌△FAD（SAS），
∴DE=DF，∠EDB=∠FDA.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，即∠EDB+∠ADE=90°.
∵∠EDB=∠FDA，
∴∠FDA+∠ADE=90°，即∠EDF=90°.
综上，DE=DF且DE⊥DF.

1. 根据下列条件,不能判断$\triangle ABC$是等腰三角形的是(D)
A.$∠A:∠B:∠C= 2:2:5$
B.$a:b:c= 3:3:4$
C.$∠A= 30^{\circ },∠C= 120^{\circ }$
D.$2∠A= ∠B+∠C$

答案： D

2. 在平面直角坐标系中,已知$A(3,0)$,$B(0,3)$,若点$C$在坐标轴上,且$\triangle ABC$为等腰三角形,则满足条件的点$C$的个数是(D)

A.3

B.4
C.6
D.7

答案： D

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$ED// BC$,$∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G,F$,若$FG= 4$,$ED= 8$,则$EB+DC= $4.

答案： 4

4. 如图,在$\triangle ABC的BC边上截取BE= AB$,连接$AE$,作$∠ABE的角平分线BD交AE于点D$,若$∠EAC= ∠C$,$BC= 17$,$AB= 9$,则$AD= $4.

答案： 4

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC= BC$,$∠ACB= 84^{\circ }$,$D是AB$边上一点(不与$A,B$重合),以$CD为边作等腰\triangle CDE$,$CD= CE$,且$∠DCE= 84^{\circ }$,$CB与DE交于点F$,连接$BE$.
(1)求证:$\triangle ACD\cong \triangle BCE$;
(2)当$AD= BF$时,证明$\triangle DCF$是等腰三角形.

答案：
(1)证明：
∵AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=84°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE。在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\ \angle ACD=\angle BCE\\ CD=CE\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE(SAS)。
(2)证明：
∵AC=BC，∠ACB=84°，
∴∠A=∠ABC=$\frac{180^{\circ}-84^{\circ}}{2}=48^{\circ}$。由
(1)知△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠A=∠CBE=48°。
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴△BEF中，∠BEF=∠BFE=$\frac{180^{\circ}-\angle CBE}{2}=\frac{180^{\circ}-48^{\circ}}{2}=66^{\circ}$。
∵∠BFE=∠DFC，
∴∠DFC=66°。
∵CD=CE，∠DCE=84°，
∴∠CDE=$\frac{180^{\circ}-84^{\circ}}{2}=48^{\circ}$。在△DCF中，∠DCF=180°-∠CDE-∠DFC=180°-48°-66°=66°。
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=DC，即△DCF是等腰三角形。

6. 如图,$\triangle ABC和\triangle CDE$均为等腰三角形,$AC= BC$,$EC= DC$,$A,E,D$三点共线,$BD⊥AD于点D$,$AD交BC于点F$.
(1)若$∠ACE= ∠BCD$,$AD= 8$,$BD= \frac {2}{5}AD$,求$DE$的长;
(2)若$∠ACB= ∠ECD= 90^{\circ }$,且$BD= CE$,求证:$BC= AB - CF$.

答案：
(1)$\frac{24}{5}$；
(2)证明见上