《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

4. 在△ABC中,AD垂直平分BC,在△ACF中,CE垂直平分AF,若CF= 6,CD= 5,则△ABC的周长为22.

答案： 22

5. 写出下列命题的逆命题并判断原命题和逆命题的真假.
(1)如果x＞y＞0,那么$x^2＞y^2；$
(2)面积相等的两个三角形全等；
(3)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形,那么这条线段是这个三角形的中线.

答案：
(1)
原命题：如果$x ＞ y ＞ 0$，那么$x^{2}＞y^{2}$。
逆命题：如果$x^{2}＞y^{2}$，那么$x ＞ y ＞ 0$。
原命题为真命题，理由：当$x ＞ y ＞ 0$时，$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，因为$x+y＞0$，$x - y＞0$，所以$x^{2}-y^{2}＞0$，即$x^{2}＞y^{2}$。
逆命题为假命题，反例：当$x=-2$，$y = 1$时，$x^{2}=4$，$y^{2}=1$，$x^{2}＞y^{2}$，但$x＜y$且$y＞0$。
(2)
原命题：面积相等的两个三角形全等。
逆命题：全等的两个三角形面积相等。
原命题为假命题，反例：一个三角形的底为$4$，高为$3$，面积$S_1=\frac{1}{2}×4×3 = 6$；另一个三角形底为$6$，高为$2$，面积$S_2=\frac{1}{2}×6×2=6$，这两个三角形面积相等但不全等。
逆命题为真命题，理由：全等三角形的形状和大小完全相同，所以它们的面积一定相等。
(3)
原命题：如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线。
逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形。
原命题为真命题，理由：设三角形$\triangle ABC$，$AD$是$BC$边上的中线，过$A$作$AE\perp BC$于$E$。$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}CD\cdot AE$，因为$BD = CD$，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$。
逆命题为真命题，理由：设$AD$是$\triangle ABC$的中线，$BD = CD$，过$A$作$AE\perp BC$于$E$，$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}CD\cdot AE$，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$。

6. 在△ABC中,AD垂直平分BC,点E在BC的延长线上,且满足AB+BD= DE.
求证：点C在线段AE的垂直平分线上.

答案： 证明：
∵AD垂直平分BC，
∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
BD=DC（线段垂直平分线定义）。
∵点E在BC延长线上，
∴DE=DC+CE。
又
∵BD=DC，
∴DE=BD+CE。
∵AB+BD=DE，
∴AB+BD=BD+CE（等量代换），
∴AB=CE（等式性质）。
∵AB=AC，
∴AC=CE（等量代换）。
∴点C在线段AE的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。

7. 如图,在△ABC中,BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线AE交于点E,EF⊥AB交其延长线于点F,EG⊥AC于点G.
(1)求证：BF= CG；
(2)若AB= 4,AC= 6,求AF的长.

答案：
(1)
连接$BE$、$CE$。
因为$DE$是$BC$的垂直平分线，所以$BE = CE$。
因为$AE$是$\angle BAC$的平分线，$EF\perp AB$，$EG\perp AC$，所以$EF = EG$，$\angle BFE=\angle CGE = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BFE$和$Rt\triangle CGE$中，$\begin{cases}BE = CE\\EF = EG\end{cases}$，所以$Rt\triangle BFE\cong Rt\triangle CGE(HL)$，则$BF = CG$。
(2)
在$Rt\triangle AFE$和$Rt\triangle AGE$中，$\begin{cases}AE = AE\\EF = EG\end{cases}$，所以$Rt\triangle AFE\cong Rt\triangle AGE(HL)$，则$AF = AG$。
设$BF = x$，因为$AB = 4$，$AC = 6$，$BF = CG=x$，所以$AF=4 + x$，$AG = 4 + x$，$AG=AC - CG=6 - x$。
即$4 + x=6 - x$，
$2x=2$，解得$x = 1$。
所以$AF=4 + 1=5$。
综上，
(1)已证$BF = CG$；
(2)$AF$的长为$5$。

1. 确定轴对称图形的对称轴,只需作一对对应点所连线段的垂直平分线。

答案： 垂直平分线

2. 用尺规作线段的垂直平分线的方法可以确定线段的中点。

答案： 中

思考 如何运用全等三角形的知识,证明教材第 67 页思考中,作出的直线 $ CD $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线？

答案： 已知：以A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧，两弧交于C、D两点，连接CD。
求证：CD是AB的垂直平分线。
证明：
1. 连接AC、BC、AD、BD。
2. 在△ACD和△BCD中，AC=BC，AD=BD，CD=CD，
∴△ACD≌△BCD（SSS）。
3.
∴∠ACD=∠BCD。
4. 设CD与AB交于点O，在△ACO和△BCO中，AC=BC，∠ACD=∠BCD，CO=CO，
∴△ACO≌△BCO（SAS）。
5.
∴AO=BO，∠AOC=∠BOC。
6.
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=∠BOC=90°。
7.
∴CD垂直平分AB。
结论：CD是AB的垂直平分线。

练习 尺规作图(要求保留痕迹,不写作法)：作出线段 $ AB $ 的垂直平分线。

答案： 答题卡：
1. 以$A$为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$长为半径画弧。
2. 以$B$为圆心，以与前面相同的长为半径画弧，两弧交于点$C$、$D$。
3. 作直线$CD$，直线$CD$就是线段$AB$的垂直平分线。

例 1 请画出下列图形的对称轴：

名师导引 当一个轴对称图形的对称轴不止一条时,这些对称轴交于一点。

答案： 第一种图形（等边三角形）：
由于等边三角形有三条对称轴，每条都通过一个顶点，将相对的边平分。
用虚线画出这三条对称轴，每条都从一个顶点到它的对边中点。
第二种图形（两个圆的直线排列）：
这个图形有一条垂直对称轴，通过两个圆的中心。
用虚线画出这条垂直线作为对称轴。
第三种图形（三个相同花瓣形状）：
这个图形有三条对称轴，每条都通过一个花瓣的中心，并且与其他两个花瓣的交界处相交。
用虚线画出这三条对称轴，每条都从一个花瓣中心到图形中心。

变式训练 如图,$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle A'B'C' $ 关于直线 $ l $ 对称,请画出对称轴 $ l $。

答案： 1. 连接点 A 与点 A'，得到线段 AA'。
2. 分别以点 A 和点 A'为圆心，大于$\frac{1}{2}AA'$的长为半径画弧，两弧交于两点。
3. 过两弧交点作直线，该直线即为对称轴 l。