《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

例1 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C = ∠ABC = 2∠A$,$BD是AC$边上的高.求$∠DBC$的度数.

答案： 设$\angle A = x$，
$\because \angle C = \angle ABC = 2\angle A$，
$\therefore \angle C = \angle ABC = 2x$。
$\because \triangle ABC$内角和为$180^{\circ}$，
$\therefore x + 2x + 2x = 180^{\circ}$，
解得$x = 36^{\circ}$。
$\therefore \angle A = 36^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$。
$\because BD$是$AC$边上的高，
$\therefore \angle BDC = 90^{\circ}$。
$\because$在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 90^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$，
$\therefore \angle DBC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 72^{\circ} = 18^{\circ}$。
综上，$\angle DBC$的度数为$18^{\circ}$。

变式训练 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是∠BAC$的平分线,$∠B = 66^{\circ}$,$∠C = 54^{\circ}$.
(1)求$∠ADB和∠ADC$的度数;
(2)若$DE⊥AC于点E$,求$∠ADE$的度数.

答案：
(1) 在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=30°。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-66°-30°=84°。
∠ADC=180°-∠ADB=180°-84°=96°。
(2)
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°。
在△ADE中，∠ADE=90°-∠CAD=90°-30°=60°。

例2 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$D是AB$边上一点,且$∠ACD = ∠B$.求证:$\triangle BCD$是直角三角形.

名师导引 要证明$\triangle BCD$是直角三角形,可以证明$∠BDC = 90^{\circ}$.本题由$∠ACB = 90^{\circ}和∠ACD = ∠B$,可得$∠B + ∠BCD = 90^{\circ}$,再由三角形内角和等于$180^{\circ}$,可得$∠BDC = 90^{\circ}$.
变式训练 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的高,$E是AB$边上一点,$CE交AD于点M$,且$∠DCM = ∠MAE$.求证:$\triangle AEM$是直角三角形.

答案： 证明：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCM+∠CMD=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠CMD=∠AME（对顶角相等），∠DCM=∠MAE（已知），
∴∠MAE+∠AME=90°。
在△AEM中，∠AEM=180°-（∠MAE+∠AME）=180°-90°=90°，
∴△AEM是直角三角形。

1. 具备下列条件的$\triangle ABC$,不是直角三角形的是(D)
A.$∠A = 60^{\circ}$,$∠B = 30^{\circ}$
B.$∠A + ∠B = ∠C$
C.$∠A = 90^{\circ} - ∠C$
D.$∠A: ∠B: ∠C = 3:4:5$

答案： D

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC = 90^{\circ}$,$∠CDA = 90^{\circ}$,则与$∠B$互为余角的角有(A)

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

答案： A