《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

变式训练 如图,在△ABC中,DE是AB的垂直平分线,交AB于点D,交BC于点E,连接AE,已知BD= 2 cm,△ACE的周长为6 cm,则△ABC的周长为10cm.

答案：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD=2cm，AE=BE。
∵BD=2cm，
∴AB=AD+BD=2+2=4cm。
∵△ACE的周长为6cm，
∴AE+EC+AC=6cm。
∵AE=BE，
∴BE+EC+AC=BC+AC=6cm。
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=4+6=10cm。
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探究二 线段的垂直平分线的判定的应用
例2 如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
求证：AD垂直平分EF.

名师导引 本题只要证得AE= AF,DE= DF,根据垂直平分线的判定方法,以及两点确定一条直线,即可迎刃而解.

答案： 证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∴点D在线段EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵AD=AD，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
∵点A、D都在线段EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF（两点确定一条直线）。

变式训练 如图,AD与BC相交于点O,AB= CD,∠ABC= ∠CDA,EB= ED,连接OE,BD.求证：OE垂直平分BD.

答案： 在△ABO 和△CDO 中，
$\begin{cases}\angle ABC = \angle CDA, \\\angle AOB = \angle COD（对顶角相等）, \\AB = CD.\end{cases}$
根据$AAS$（角角边）判定，得$\triangle ABO \cong \triangle CDO$，
根据全等三角形的性质，对应边相等，所以$OB = OD$，
即点O在线段BD的垂直平分线上。
因为$EB = ED$，
根据线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
所以点E也在线段BD的垂直平分线上。
因为两点确定一条直线，
所以直线OE就是线段BD的垂直平分线，
即$OE$垂直平分$BD$。

1. 如图,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接AD,若BC= 9 cm,BD= 4 cm,则AD的长为(C)

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.9 cm

答案： C

2. 如图是“一带一路”示意图,记北京为A地,莫斯科为B地,雅典为C地.若想建立一个货物中转仓,使其到A,B,C三地的距离相等,则中转仓的位置应选在(A)

A.三边垂直平分线的交点
B.三边中线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点

答案： A

3. 如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,CD= 5,AD= 13,直线EF是边AC的垂直平分线,点M在直线EF上运动,连接DM,CM,△CDM周长的最小值为(C)

A.8
B.16
C.18
D.20

答案： C