《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

1. 有下列条件：①三条边都相等的三角形；②三个内角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为$60^{\circ}$的等腰三角形。能判定三角形为等边三角形的有(C)
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： C

2. 由于木质衣架没有柔性,所以在挂衣服的时候不太方便操作。嘉嘉设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可。如图 1,衣架杆$OA = OB = 22 cm$。若衣架收拢时,$\angle AOB = 60^{\circ}$(如图 2),则此时$A$,$B$两点之间的距离是(C)

A.$18 cm$
B.$20 cm$
C.$22 cm$
D.$24 cm$

答案： C

3. 将含$30^{\circ}$角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知$\angle\alpha = 60^{\circ}$,点$B$,$C对应的刻度分别为1 cm$,$3 cm$,则线段$AB$的长为4$cm$。

答案： 4

4. 在等边$\triangle ABC的顶点A$,$C$处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以相同的速度由$A向B和由C向A$爬行,经过$t$分钟后,它们分别爬行到$D$,$E$处,则：
(1)如图 1,在蜗牛爬行的过程中,$CD和BE$的数量关系是CD=BE；
(2)如图 2,当两个蜗牛分别爬行到线段$AB$,$CA的延长线上的D$,$E$处时,$EB的延长线与CD交于点Q$,蜗牛爬行过程中$\angle CQE$的大小将会保持不变,请你证明：$\angle CQE = 60^{\circ}$；
(3)如图 3,如果将“由$C向A$爬行”改为“沿着线段$BC$的延长线爬行,连接$DE交AC于F$”,其他条件不变,求证：$DF = EF$。

(2) 证明：
∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°。
∵蜗牛速度相同、同时出发，∴AD=CE。
∵D在AB延长线，E在CA延长线，∴∠DAC=∠ECB=180°-60°=120°。
在△DAC和△ECB中，$\left\{\begin{array}{l}AD=CE\\∠DAC=∠ECB\\AC=CB\end{array}\right.$，∴△DAC≌△ECB(SAS)。
∴∠ACD=∠EBC。设∠ACD=∠EBC=α。
在△QBC中，∠QBC=180°-α，∠QCB=α，∴∠BQC=180°-(180°-α)-α=0°（矛盾，修正：∠EBC=α，∠QCB=α，∠BEC=180°-60°-α=120°-α）。
在△QEC中，∠CQE=180°-∠QEC-∠QCE=180°-(120°-α)-α=60°。即∠CQE=60°。
(3) 证明：
过D作DG//BC交AC于G。
∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，DG//BC，∴∠ADG=∠B=60°，∠AGD=∠ACB=60°，∴△ADG为等边三角形，DG=AD。
∵AD=CE（速度相同），∴DG=CE。
∵DG//BC，∴∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E。
在△DGF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}∠DGF=∠ECF\\∠GDF=∠E\\DG=CE\end{array}\right.$，∴△DGF≌△ECF(AAS)。∴DF=EF。

答案：
(1) CD=BE
(2) 证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°。
∵蜗牛速度相同、同时出发，
∴AD=CE。
∵D在AB延长线，E在CA延长线，
∴∠DAC=∠ECB=180°-60°=120°。
在△DAC和△ECB中，$\left\{\begin{array}{l}AD=CE\\∠DAC=∠ECB\\AC=CB\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△ECB(SAS)。
∴∠ACD=∠EBC。设∠ACD=∠EBC=α。
在△QBC中，∠QBC=180°-α，∠QCB=α，
∴∠BQC=180°-(180°-α)-α=0°（矛盾，修正：∠EBC=α，∠QCB=α，∠BEC=180°-60°-α=120°-α）。
在△QEC中，∠CQE=180°-∠QEC-∠QCE=180°-(120°-α)-α=60°。即∠CQE=60°。
(3) 证明：
过D作DG//BC交AC于G。
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，DG//BC，
∴∠ADG=∠B=60°，∠AGD=∠ACB=60°，
∴△ADG为等边三角形，DG=AD。
∵AD=CE（速度相同），
∴DG=CE。
∵DG//BC，
∴∠DGF=∠ECF，∠GDF=∠E。
在△DGF和△ECF中，$\left\{\begin{array}{l}∠DGF=∠ECF\\∠GDF=∠E\\DG=CE\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△ECF(AAS)。
∴DF=EF。

5. 如图,$\triangle ABC$是等边三角形,$D为BC$边上一个动点($D与B$,$C$均不重合)。$AD = AE$,$\angle DAE = 60^{\circ}$,连接$CE$。
(1)求证：$CE平分\angle ACF$；
(2)若$AB = 2$,当四边形$ADCE$的周长取最小值时,求$BD$的长。

答案：
(1)见证明过程；
(2)1