《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$.
思考 如何利用点关于坐标轴对称的点的坐标的变化规律,作出一个图形关于$x轴或y$轴对称的图形？
填空 (1)点$M(-3,2)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(3,2)$；
(2)已知$A(3,-2)$和$B(-3,-2)$,则点$A$,$B$关于$y$轴对称.

答案： 点$(x,y)$关于$x$轴对称的点的坐标为$(x,-y)$；点$(x,y)$关于$y$轴对称的点的坐标为$(-x,y)$；
(1)$(3,2)$；
(2)$y$。

例1 在平面直角坐标系中,已知$A(m - n,3)$,$B(2,m - 1)$,根据下列条件,求$m$,$n$的值.
(1)点$A$,$B关于x$轴对称；
(2)点$A$,$B关于y$轴对称.
名师导引 两点关于$x$轴对称,横坐标相同,纵坐标互为相反数；两点关于$y$轴对称,纵坐标相同,横坐标互为相反数.

答案：
(1)
由于点$A(m - n,3)$和点$B(2,m - 1)$关于$x$轴对称，根据对称性质，两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。
因此，有：
$\begin{cases}m - n = 2,\\m - 1 = -3.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}m = -2,\\n= -4.\end{cases}$
(2)
由于点$A(m - n,3)$和点$B(2,m - 1)$关于$y$轴对称，根据对称性质，两点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
因此，有：
$\begin{cases}m - n = -2,\\m - 1= 3.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}m = 4,\\n= 6.\end{cases}$

变式训练 如图,$\triangle ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)$,$B(4,2)$,$C(3,4)$.

(1)若$\triangle A_1B_1C_1与\triangle ABC关于y$轴成轴对称,在图中画出$\triangle A_1B_1C_1$,$B_1$点的坐标为(-4,2)；
(2)又知直线$AC与y轴相交于点(0,-\frac{1}{2})$,在$y轴上是否存在点Q$,使得$S_{\triangle ACQ}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$？如果存在,求出点$Q$的坐标；如果不存在,说明理由.
存在，Q(0,5/4)或(0,-9/4)

答案：
(1) 关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变，B(4,2)的对称点B₁坐标为(-4,2)。
(2) ① 求△ABC面积：
A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)，
由面积公式S=1/2|x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)|，
代入得S=1/2|1×(2-4)+4×(4-1)+3×(1-2)|=1/2| -2+12-3|=7/2。
② 设Q(0,q)，直线AC与y轴交于D(0,-1/2)，
△ACQ面积S=1/2|2q+1|（由坐标面积公式得），
依题意1/2|2q+1|=1/2×7/2=7/4，
则|2q+1|=7/2，
解得2q+1=7/2或2q+1=-7/2，
q=5/4或q=-9/4。
(1)-4,2
(2)存在，Q(0,5/4)或(0,-9/4)

例2 $\triangle ABC各顶点的坐标分别为A(-5,1)$,$B(-5,4)$,$C(-1,4)$.结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
(1)画出与$\triangle ABC关于y轴对称的\triangle A_1B_1C_1$；

(2)画出与$\triangle ABC关于x轴对称的\triangle A_2B_2C_2$；
(3)点$C_1$的坐标是______,点$C_2$的坐标是______.
名师导引 在坐标系中作轴对称图形,先找出关键点的对称点,再依次连接各点即可.
(1) 画出$\triangle A_1B_1C_1$，其中点$A_1(5,1)$，$B_1(5,4)$，$C_1(1,4)$，并依次连接。
(2) 画出$\triangle A_2B_2C_2$，其中点$A_2(-5,-1)$，$B_2(-5,-4)$，$C_2(-1,-4)$，并依次连接。
(3) (1,4)；(-1,-4)

答案：
(1)
点$A(-5,1)$关于$y$轴对称的点$A_1(5,1)$；
点$B(-5,4)$关于$y$轴对称的点$B_1(5,4)$；
点$C(-1,4)$关于$y$轴对称的点$C_1(1,4)$；
依次连接$A_1$，$B_1$，$C_1$得到$\triangle A_1B_1C_1$。
(2)
点$A(-5,1)$关于$x$轴对称的点$A_2(-5,-1)$；
点$B(-5,4)$关于$x$轴对称的点$B_2(-5,-4)$；
点$C(-1,4)$关于$x$轴对称的点$C_2(-1,-4)$；
依次连接$A_2$，$B_2$，$C_2$得到$\triangle A_2B_2C_2$。
(3) $(1,4)$；$(-1,-4)$