《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

4. (1)若$x^{m}= 6,y^{m}= -3$,则$(xy)^{m}=$-18；
(2)若$x^{n}= 3,y^{2n}= 4$,则$(xy^{2})^{2n}=$144；
(3)若$A^{3}= -27a^{6}b^{9}$,则$A=$$-3a^{2}b^{3}$；
(4)若$(-x^{2}A)^{3}= x^{6}y^{9}$,则$A=$$-y^{3}$。

答案：
(1) -18
(2) 144
(3) $-3a^{2}b^{3}$
(4) $-y^{3}$

5. 计算：
(1)$(-4xy^{2})^{3}$；
(2)$(-2a^{3}b^{2})^{2}-3a^{6}b^{4}$；
(3)$(-3a^{3})^{2}·a^{3}+(-4a)^{2}·a^{7}-(5a^{3})^{3}$。

答案：
(1)
$\begin{aligned}(-4xy^{2})^{3} &= (-4)^{3} \cdot x^{3} \cdot (y^{2})^{3} \\&= -64x^{3}y^{6}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}(-2a^{3}b^{2})^{2}-3a^{6}b^{4} &= 4a^{6}b^{4} - 3a^{6}b^{4} \\&= a^{6}b^{4}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(-3a^{3})^{2} \cdot a^{3}+(-4a)^{2} \cdot a^{7}-(5a^{3})^{3} &= 9a^{6} \cdot a^{3} + 16a^{2} \cdot a^{7} - 125a^{9} \\&= 9a^{9} + 16a^{9} - 125a^{9} \\&= -100a^{9}\end{aligned}$

6. 计算：
(1)$(-0.2)^{2025}×5^{2026}$；
(2)$(-1\frac{7}{9})^{5}×(\frac{3}{8})^{5}×(-\frac{3}{2})^{6}$。

答案：
(1) $-5$；
(2) $-\frac{3}{2}$

7. 规定$a,b两数之间的一种运算(a,b)$为：如果$a^{c}= b$,那么$(a,b)= c$。例如：$\because 2^{3}= 8,\therefore (2,8)= 3$。
(1)根据上述规定,填空：$(3,27)=$3,$(\frac{1}{2},\frac{1}{4})=$2。

答案：
(1) 3；2

(2)小明在研究这种运算时,发现$(3^{n},4^{n})= (3,4)$,他给出了以下理由：
设$(3^{n},4^{n})= x$,则$(3^{n})^{x}= 4^{n}$,即$(3^{x})^{n}= 4^{n},\therefore 3^{x}= 4$,即$(3,4)= x$,
$\therefore (3^{n},4^{n})= (3,4)$。
请你尝试运用上述方法判断$(3,4)+(3,5)= (3,20)$是否成立,并说明理由。

答案： 设$(3,4)=m$，则$3^m=4$；设$(3,5)=n$，则$3^n=5$。
左边$=m+n$。
设$(3,20)=p$，则$3^p=20$。
因为$3^{m+n}=3^m \cdot 3^n=4×5=20$，所以$3^{m+n}=3^p$，即$m+n=p$。
因此，$(3,4)+(3,5)=(3,20)$成立。

单项式乘法法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
思考 单项式乘法法则的依据是什么?
填空 $3x^{2}\cdot 4x^{3}=$$12x^{5}$;$3x\cdot (-2xy)^{2}=$$12x^{3}y^{2}$.

答案： 指数；乘法交换律、结合律以及同底数幂的乘法法则；$12x^{5}$；$12x^{3}y^{2}$

例1 计算:
(1)$(-3a^{2}b)(-5a)$;
(2)$\frac{3}{4}a^{2}bc\cdot (-\frac{2}{3}ab^{2})$;
(3)$(2a)^{2}(-3ab^{3})$;
(4)$-6m^{2}(x - y)^{3}\cdot \frac{1}{3}m(y - x)^{2}$.

答案：
(1)
$(-3a^{2}b)(-5a)$
$ = (-3×(-5))×(a^{2}\cdot a)× b$
$ = 15a^{3}b$
(2)
$\frac{3}{4}a^{2}bc\cdot (-\frac{2}{3}ab^{2})$
$ = [\frac{3}{4}×(-\frac{2}{3})]×(a^{2}\cdot a)×(b\cdot b^{2})× c$
$ = -\frac{1}{2}a^{3}b^{3}c$
(3)
$(2a)^{2}(-3ab^{3})$
$ = 4a^{2}\cdot(-3ab^{3})$
$ = [4×(-3)]×(a^{2}\cdot a)× b^{3}$
$ = -12a^{3}b^{3}$
(4)
因为$(y - x)^{2}=(x - y)^{2}$，
所以$-6m^{2}(x - y)^{3}\cdot \frac{1}{3}m(y - x)^{2}$
$ = -6m^{2}(x - y)^{3}\cdot\frac{1}{3}m(x - y)^{2}$
$ = [-6×\frac{1}{3}]×(m^{2}\cdot m)×[(x - y)^{3}\cdot(x - y)^{2}]$
$ = -2m^{3}(x - y)^{5}$