《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

4. (2024·广东广州·二模)古人诗云：“草长莺飞二月天,拂堤杨柳醉春烟. 儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”纸鸢,又称风筝,其制作技艺是我国民间的传统工艺. 某班数学兴趣小组根据风筝的形状画出图形(如图所示),已知$AB = BC$,$\angle ABD = \angle CBD$,求证：$AD = CD$.

答案： 在$\triangle ABD$和$\triangle CBD$中，
$\left\{ \begin{matrix} AB = BC, \\\angle ABD = \angle CBD, \\BD = BD. \end{matrix} \right.$
根据$SAS$（边角边）全等判定定理得：
$\triangle ABD ≌ \triangle CBD$。
所以$AD = CD$。

5. (23 - 24 四川泸州·阶段练习,有改编)倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的作辅助线的方法.
(1)如图 1,在$\triangle ABC$中,$AC = 5$,中线$AD = 6$,求$AB$的取值范围. 方法一：延长$AD到E使DE = AD$,连接$CE$；方法二：过点$C作AB的平行线交AD的延长线于E$. 请你从以上两种方法中选一种方法证明$\triangle ECD\cong\triangle ABD$,并直接写出$AB$的取值范围.
(2)如图 2,在$\triangle AEC$中,点$B$,$D在EC$上,$AE = 2AD$,点$D是BC$的中点,若$AB平分\angle DAE$,求证：$AC = BE$.

答案：
(1)7＜AB＜17；
(2)证明见上。

三角形全等的判定：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“角边角”或“ASA”)
三角形全等的判定：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.(可以简写成“角角边”或“AAS”)
思考 有两角及一边分别对应相等的两个三角形全等吗？有
练习 在数学综合实践活动课上,张老师给了各活动小组大直角三角尺一个、皮尺一条,测量如图所示小河的宽度(A 为河岸边的一棵柳树).小颖是这样做的：①在 A 点的对岸作直线 MN；②用三角尺作 AB⊥MN,垂足为 B；③在直线 MN 上另取两点 C,D,使 BC = CD；④过点 D 作 DE⊥MN 交 AC 的延长线于点 E,由三角形全等可知 DE 的长度等于河宽 AB.
在以上做法中,△ABC≌△EDC 的依据是ASA.

答案： 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等；有；ASA