《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

4. 如图,四边形ABCD是轴对称图形,且AC是其对称轴,E,F,G为AC上的三点,若AC = 6 cm,BD = 8 cm,则图中阴影部分的面积为24$cm^2。$

答案：
∵四边形ABCD是轴对称图形，AC是对称轴，
∴点B与点D关于AC对称，AC垂直平分BD。
设AC与BD交于点O，则AC⊥BD，BO=OD=BD/2=4cm。
∵E，F，G为AC上的点，其对称点为自身，
∴阴影部分中关于AC对称的图形面积相等。
阴影部分总面积等于以AC为底、BD为高的四边形面积（对角线垂直的四边形面积=对角线乘积的一半）。
∴阴影部分面积=1/2×AC×BD=1/2×6×8=24cm²。
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5. 如图,△ABC与△ADE关于直线MN对称,BC与DE的交点F在直线MN上。且ED = 6.5,FC = 2,∠BAC = 75°,∠EAC = 64°。求：
(1)BF的长度；
(2)∠CAD的度数。

答案： 答题卡：
(1)
由于$\triangle ABC$与$\triangle ADE$关于直线$MN$对称，
根据对称性质，对应边相等，即$BC = DE = 6.5$。
已知$FC = 2$，
所以$BF = BC - FC = 6.5 - 2 = 4.5$。
(2)
由于$\triangle ABC$与$\triangle ADE$关于直线$MN$对称，
根据对称性质，对应角相等，
即$\angle BAC = \angle DAE = 75°$。
已知$\angle EAC = 64°$，
所以$\angle CAD = \angle DAE - \angle EAC = 75° - 64° = 11°$。

6. 如图,在△ABC中,∠ABC = 40°,∠ACB = 90°,AE平分∠BAC交BC于点E。P是边BC上的动点(不与B,C重合),连接AP,将△APC沿AP翻折得△APD,连接DC,记∠BCD = α。
(1)如图,当P与E重合时,求α的度数；
(2)当P与E不重合时,记∠BAD = β,探究α与β的数量关系。

答案：
(1)在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=180°-90°-40°=50°。
AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAC=25°。
当P与E重合时，翻折△AEC得△AED，
∴AD=AC，∠DAE=∠CAE=25°，ED=EC。
∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=50°，△ADC为等腰三角形，AD=AC，
∴∠ACD=(180°-50°)/2=65°。
∵∠ACB=90°，∠BCD=α，
∴∠ACD=90°-α=65°，解得α=25°。
(2)
∵翻折△APC得△APD，
∴AD=AC，∠DAP=∠CAP。
∠BAC=50°，∠BAD=β，
∴∠DAC=50°-β。
△ADC中，AD=AC，
∴∠ACD=(180°-(50°-β))/2=(130°+β)/2。
∵∠ACB=90°，∠BCD=α，
∴∠ACD=90°-α。
∴(130°+β)/2=90°-α，整理得2α+β=50°。
(1)α=25°；
(2)2α+β=50°。

线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等.
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
如果两个命题的题设、结论正好相反,我们把它们叫作互逆命题.
思考 线段AB的垂直平分线可以看成是满足什么条件的所有点的集合？
填空 如图,已知AB= 2 cm,MA= MB,NA= NB,直线MN交线段AB于点P,则AP=1cm,∠APM=90度.

答案： 相等；垂直平分线；互逆命题；与线段AB两个端点距离相等的所有点的集合；1；90

探究一 线段垂直平分线性质的运用
例1 如图,在△ABC中,DE是边AB的垂直平分线,交AB于E,交AC于D,连接BD.

(1)若∠ABC= ∠C,∠A= 45°,则∠DBC= 22.5°；
(2)若AB= AC,△BCD的周长为14 cm,△ABC的周长为22 cm,则BE= 4cm.
名师导引 根据垂直平分线的性质,建立线段之间的等量关系求解.

答案：
(1)
因为$\angle A = 45^{\circ}$，$\angle ABC=\angle C$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle ABC=\angle C = \frac{1}{2}×(180^{\circ}- 45^{\circ})=67.5^{\circ}$。
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$AD = BD$，则$\angle ABD=\angle A = 45^{\circ}$。
所以$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=67.5^{\circ}-45^{\circ}=22.5^{\circ}$。
(2)
因为$DE$是$AB$的垂直平分线，所以$AD = BD$，$AE = BE$。
因为$\triangle BCD$的周长为$14cm$，即$BC + BD+CD = 14cm$，把$BD = AD$代入可得$BC + AD+CD = BC + AC = 14cm$。
因为$\triangle ABC$的周长为$22cm$，即$AB + AC+BC = 22cm$，把$AC + BC = 14cm$代入可得$AB=22 - 14 = 8cm$。
因为$AE = BE$，所以$BE=\frac{1}{2}AB = 4cm$。
综上，答案依次为：
(1)$22.5^{\circ}$；
(2)$4cm$。