《2025年学习指要八年级数学上册人教版》

新知梳理
如图,在$\triangle ABC$中,从点$C$出发,沿三角形的边到达点$B$,有$2$条线路可以选择.它们是$CA + AB$,$CB$,各条线路的长分别是$AC + AB$,$BC$,各条线路的长的关系是$AC + AB\gt BC$,依据是两点之间,线段最短.
三角形具有稳定性.

思考 ①依照上面的实例,还可以得到$AB + BC\gt AC$,$BC + AC\gt AB$.
②三角形任意两边之和大于第三边.
③三角形任意两边之差小于第三边.
练习 已知三角形两边长分别为$3,4$,则第三边的长可以是5(写出一种即可).

答案： 5

例1 已知三角形的两边长分别是$6和3$.
(1)如果这个三角形是等腰三角形,求它的周长；
(2)如果这个三角形的周长是奇数,求第三边的长.

答案：
(1)
当腰长为$6$时，三角形的三边长为$6$，$6$，$3$。
根据三角形三边关系，$6 + 3＞6$，$6 + 6＞3$，$3 + 6＞6$，满足三边关系。
此时周长为$6 + 6 + 3=15$。
当腰长为$3$时，三边长为$3$，$3$，$6$。
因为$3+3 = 6$，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以这种情况不成立。
综上，等腰三角形周长为$15$。
(2)
设第三边长为$x$，根据三角形三边关系，$6 - 3＜x＜6 + 3$，即$3＜x＜9$。
又因为周长$C=6 + 3+x=9 + x$是奇数，$9$是奇数，奇数+偶数=奇数，所以$x$为偶数。
所以$x$的值为$4$或$6$或$8$。

(1)如果没有说明等腰三角形已知的两边哪一边是腰,哪一边是底边,就要进行分类讨论,再根据三角形三边的关系确定三角形的周长.
(2)先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围,再根据周长为奇数确定第三边的值.

答案： 答题卡：
(1)
设等腰三角形已知两边长为$a$，$b$（$a\leq b$），分两种情况讨论：
情况一：当$a$为腰长时，三边长分别为$a$，$a$，$b$。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，需满足$a + a＞b$，$|a - a|＜b$（$|a - a| = 0＜b$恒成立），若满足$2a＞b$，则周长$C_1=2a + b$。
情况二：当$b$为腰长时，三边长分别为$b$，$b$，$a$。
需满足$b + b＞a$，$|b - b|＜a$（$|b - b| = 0＜a$恒成立），即$2b＞a$，此时周长$C_2=2b + a$。
(2)
设三角形两边长分别为$m$，$n$，第三边为$x$。
根据三角形三边关系可得$|m - n|＜x＜m + n$。
已知周长$L=m + n + x$为奇数，$m + n$为定值，设$m + n = k$（$k$为常数），则$L=k + x$为奇数，所以$x$与$k$的奇偶性不同。
在$|m - n|＜x＜m + n$范围内找出与$k$奇偶性不同的$x$的值，进而确定第三边的值。
例如：已知三角形两边长分别为$3$和$8$，设第三边为$x$，周长为奇数。
根据三边关系$8 - 3＜x＜8 + 3$，即$5＜x＜11$。
$3 + 8 = 11$为奇数，所以$x$为偶数，$x$可以取$6$，$8$，$10$。
当$x = 6$时，周长$C=3 + 8+6 = 17$；当$x = 8$时，周长$C=3 + 8 + 8=19$；当$x = 10$时，周长$C=3+8 + 10 = 21$。

(1)若等腰三角形的两边长分别是$4和5$,则它的周长为13或14.
(2)若等腰三角形的两边长分别是$2和5$,则它的周长为12.
(3)三角形的两边长分别为$4和6$,第三边为偶数,则它的周长为14或16或18.

答案：
(1)
情况一：腰长为4，底边长为5。
4+4＞5，4+5＞4，5-4＜4，能构成三角形。
周长=4+4+5=13。
情况二：腰长为5，底边长为4。
5+5＞4，5+4＞5，5-4＜5，能构成三角形。
周长=5+5+4=14。
结论：13或14。
(2)
情况一：腰长为2，底边长为5。
2+2=4＜5，不能构成三角形。
情况二：腰长为5，底边长为2。
5+5＞2，5+2＞5，5-2＜5，能构成三角形。
周长=5+5+2=12。
结论：12。
(3)
设第三边长为x，6-4＜x＜6+4，即2＜x＜10。
x为偶数，x=4，6，8。
当x=4时，周长=4+6+4=14；
当x=6时，周长=4+6+6=16；
当x=8时，周长=4+6+8=18。
原结论错误，正确周长为14或16或18。

例2 下列选项中,具有稳定性的图形是(B)

答案： B

变式训练 下面设计的原理不是利用三角形稳定性的是(D)
A.自行车的三角形车架
B.三角形房架
C.照相机的三脚架
D.学校的栅栏门

答案： D