《2025年经纶学典课时作业八年级数学上册苏科版》

| 背景材料 | 背景1：魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术.为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.作圆内接正多边形,当正多边形的边数不断增加时,其周长就无限接近圆的周长,进而可用$\frac{正多边形的周长}{圆的直径}$来求得较为精确的圆周率.祖冲之在刘徽的基础上继续努力,当正多边形的边数增加到24576时,得到了精确到小数点后七位的圆周率,这一成就在当时领先其他国家一千多年. |
| | 背景2：祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,他是第一个将圆周率$π$精确到小数点后第七位的人,他给出$π$的两个分数形式:$\frac{22}{7}$(约率)和$\frac{355}{113}$(密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是设实数$x的不足近似值和过剩近似值分别为\frac{b}{a}和\frac{d}{c}$(即有$\frac{b}{a} ＜ x ＜ \frac{d}{c}$,其中$a,b,c,d$为正整数),则$\frac{b+d}{a+c}是x$的更为精确的近似值.例如:已知$\frac{157}{50} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$,则利用一次“调日法”后可得到$π的一个更为精确的近似分数为\frac{157+22}{50+7}= \frac{179}{57}$;由于$\frac{179}{57}≈3.1404 ＜ π$,再由$\frac{179}{57} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$,可以再次使用“调日法”得到$π$的更为精确的近似分数…… |
| 探究任务 | 任务1：如图,依据“割圆术”,由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是______. |

| | 任务2：已知$\frac{157}{50} ＜ π ＜ \frac{22}{7}$,求第几次“调日法”后可得到$π的近似分数为\frac{355}{113}$. |

答案：
任务1　3解析:如图，连接OC,OD,
∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠COD=60°,又
∵OC=OD,
∴△COD是等边三角形,
∴OC=CD,正六边形的周长:圆的直径=6CD:2CD=3.
　　　　　　
任务2　已知$\frac{157}{50}＜\pi＜\frac{22}{7}$,则第一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$;由于$\frac{179}{57}\approx3.1404＜\pi$,再由$\frac{179}{57}＜\pi＜\frac{22}{7}$,则第二次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{179+22}{57+7}=\frac{201}{64}$;由于$\frac{201}{64}=3.140625＜\pi$,再由$\frac{201}{64}＜\pi＜\frac{22}{7}$,则第三次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{201+22}{64+7}=\frac{223}{71}$;由于$\frac{223}{71}\approx3.1408＜\pi$,再由$\frac{223}{71}＜\pi＜\frac{22}{7}$,则第四次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{223+22}{71+7}=\frac{245}{78}$;同理，第五次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{267}{85}$;第六次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{289}{92}$;第七次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{311}{99}$;第八次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{333}{106}$;第九次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为$\frac{355}{113}$.