《2025年经纶学典课时作业八年级数学上册苏科版》

1. 如图,AD 是△ABC 中 BC 边上的中线,求证:$AD＜\frac{1}{2}(AB+AC)$.

答案：
如图,延长AD至E,使DE = AD,连接BE.在△ACD和△EBD中,$\left\{\begin{array}{l} DC=DB,\\ ∠ADC=∠EDB,\\ AD=ED,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△EBD(SAS),
∴AC = BE.
在△ABE中,由三角形的三边关系可得AE＜AB + BE,即2AD＜AB + AC,
∴AD＜$\frac{1}{2}$(AB + AC).

2. 如图,$AB = AE$,$AB \perp AE$,$AD = AC$,$AD \perp AC$,点 M 为 BC 的中点,求证:$DE= 2AM$.

答案：
如图,延长AM至N,使MN = AM,连接BN.
∵点M为BC的中点,
∴CM = BM.在△AMC和△NMB中,$\left\{\begin{array}{l} AM=NM,\\ ∠AMC=∠NMB,\\ CM=BM,\end{array}\right. $
∴△AMC≌△NMB(SAS),
∴AC = BN,∠C = ∠NBM.
∵AB⊥AE,AD⊥AC,
∴∠EAB = ∠DAC = 90°,
∴∠EAD + ∠BAC = 180°,
∴∠ABN = ∠ABC + ∠C = 180°−∠BAC = ∠EAD.
在△EAD和△ABN中,$\left\{\begin{array}{l} AE=BA,\\ ∠EAD=∠ABN,\\ AD=BN,\end{array}\right. $
∴△EAD≌△ABN(SAS),DE = AN = 2AM.

3. 如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 边上的中点,$DE \perp DF$于点 D,DE 交 AB 于点 E,DF 交 AC 于点 F,连接 EF.求证:$BE+CF＞EF$.

答案：
如图,延长FD到点G,使DG = DF,连接EG,BG.
∵点D是BC边上的中点,
∴CD = BD.在△CDF和△BDG中,$\left\{\begin{array}{l} CD=BD,\\ ∠CDF=∠BDG,\\ DF=DG,\end{array}\right. $
∴△CDF≌△BDG(SAS),
∴CF = BG.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF = ∠EDG.在△EDF和△EDG中,$\left\{\begin{array}{l} DF=DG,\\ ∠EDF=∠EDG,\\ ED=ED,\end{array}\right. $
∴△EDF≌△EDG(SAS),
∴EF = EG.
∵BE + BG＞EG,
∴BE + CF＞EF.

4. (1)如图①,在△ABC 中,$AB = AC$,$CD \perp AB$于 D,$BE \perp AC$于 E,试证明:$CD= BE$.
(2)如图②,在△ABC 中,仍然有条件“$AB = AC$,点 D,E 分别在 AB 和 AC 上”.若$\angle ADC+\angle AEB = 180^\circ$,则 CD 与 BE 是否仍相等? 若相等,请证明;若不相等,请举反例说明.

答案：

(1)
∵CD⊥AB,BE⊥AC,
∴∠ADC = ∠AEB = 90°.在△ACD和△ABE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠AEB,\\ ∠A=∠A,\\ AC=AB,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△ABE(AAS),
∴CD = BE.
(2)相等.证明如下:作CF⊥AB于F,BG⊥AC于G,如图,同
(1)可证△ACF≌△ABG(AAS),
∴CF = BG.
∵∠ADC + ∠AEB = 180°,∠BEG + ∠AEB = 180°,
∴∠ADC = ∠BEG.在△CFD和△BGE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠FDC=∠GEB,\\ ∠CFD=∠BGE,\\ CF=BG,\end{array}\right. $
∴△CFD≌△BGE(AAS),
∴CD = BE.