《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

10. 新考向 真实情境 (2023·朔州模拟)翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等. 如图 $1$ 所示的是翻花绳的一种图案，可以抽象成图 $2$，在矩形 $ABCD$ 中，$IJ // KL$，$EF // GH$，$\angle 1 = \angle 2 = 30^{\circ}$，则 $\angle 3$ 的度数为 ( )

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： 10.D

11. 新考向 数学文化 (2024·太原新希望双语段考)数学家笛卡尔在《几何》一节中阐述了坐标几何思想，主张取代数和几何中最好的东西以长补短. 如图，在矩形 $COED$ 中，点 $D$ 的坐标是 $(2,4)$，则 $CE$ 的长是 (C)

A.$\sqrt{13}$
B.$8$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{6}$

答案： 11.C

12. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $AD$ 上一点，$F$，$G$ 分别是 $BE$，$CE$ 的中点，连接 $AF$，$DG$，$FG$. 若 $AF = 3$，$DG = 4$，$FG = 5$，则矩形 $ABCD$ 的面积为48.

答案： 12.48

13. (2023·随州)如图，矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DE // AC$，$CE // BD$.
(1)求证：四边形 $OCED$ 是菱形.
(2)若 $BC = 3$，$DC = 2$，求四边形 $OCED$ 的面积.

答案： 13.解：
(1)证明：
∵DE//AC,CE//BD,
∴四边形OCED是平行四边形.
∵矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,
∴AC=BD,OC=$\frac{1}{2}$AC,OD=$\frac{1}{2}$BD.
∴OC=OD.
∴平行四边形OCED是菱形.
(2)
∵四边形ABCD是矩形,BC=3,DC=2,
∴OA=OB=OC=OD,S_{矩形ABCD}=3×2=6.
∴S_{△OCD}=$\frac{1}{4}$S_{矩形ABCD}=$\frac{1}{4}$×6=1.5.
∵四边形OCED是菱形，
∴S_{菱形OCED}=2S_{△OCD}=2×1.5=3.

14. 新考向 阅读理解 请阅读下列材料，并完成相应的任务.
三等分角是古希腊三大几何问题之一. 如图 $1$，任意锐角 $\angle ABC$ 可看作矩形 $BCAD$ 的对角线 $BA$ 和边 $BC$ 的夹角，以 $B$ 为端点的射线 $BF$ 交 $CA$ 于点 $E$，交 $DA$ 的延长线于点 $F$. 若 $EF = 2AB$，则射线 $BF$ 是 $\angle ABC$ 的一条三等分线.
证明：如图 $2$，取 $EF$ 的中点 $G$，连接 $AG\cdots\cdots$
任务：
(1)完成材料中的证明过程.
(2)如图 $3$，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 的延长线与外角 $\angle CBE$ 的平分线相交于点 $F$. 若 $BF = \frac{1}{2}AC$，则 $\angle F$ 的度数为30°.
]

答案： 14.解：
(1)证明：
∵四边形BCAD是矩形,
∴AD//BC,∠DAC=90°.
∴∠F=∠CBF,∠EAF=90°.
∵G是EF的中点,
∴AG=$\frac{1}{2}$EF=FG.
∴∠F=∠GAF.
∵EF=2AB,
∴AG=AB.
∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF.
∴∠ABC=3∠CBF.
∴射线BF是∠ABC的一条三等分线.
(2)30°