《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

8. (2024·晋中榆次区期中)为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内每个街区的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点. 如图所示的是其中一个街区的快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形ABCD且一边靠墙，这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道各1.5米宽的门. 准备施工时，王师傅却忘记了该快递投放点的具体长宽，只记得围建投放点的三边(不含靠墙的一边和两道门)共需高度适当的板材14米. 请帮助王师傅求出这个快递投放点的边AB和BC的长.

答案： 8.解：设AB的长为x米，则BC的长为(14+1.5+1.5-2x)米.根据题意，得x(14+1.5+1.5-2x)=30，解得x₁=2.5，x₂=6.当AB=2.5时，BC=12＞10，不符合题意，舍去.当AB=6时，BC=5＜10，符合题意.答：这个快递投放点的边AB的长为6米，BC的长为5米.

9. 新考向 项目式学习 (2024·长治武乡县期中)项目式学习
某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务.
项目主题：商品销售策略的制定.
驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略.
任务一：市场调查
调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价x(元)和日销售量y(个)的情况，记录如下表：
任务二：模型建立
(1)该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=150-2x.
任务三：问题解决
(2)如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？

答案： 9.解：
(1)y=150-2x
(2)由题意，得(150-2x)(x-40)-300=200，解得x₁=65，x₂=50.当x=65时，150-2x=20；当x=50时，150-2x=50.
∵20＜50，且为了尽快减少库存，
∴x=50.答：该益智玩具的销售单价应定为50元.

10. 新考向 推理能力 如图所示的是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点. 容易发现，三角点阵中前4行的点数和是10.
(1)请用一元二次方程说明：三角点阵中前多少行的点数和是276？
(2)这个三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由.

答案： 10.解：
(1)设三角点阵中前x行的点数和是276，依题意，得1+2+3+…+x=276，即$\frac{x(x+1)}{2}=276，$整理，得x²+x-552=0.解得x₁=23，x₂=-24（不合题意，舍去）.答：三角点阵中前23行的点数和是276.
(2)不能，理由如下：依题意，得1+2+3+…+n=600，即$\frac{n(n+1)}{2}=600.$整理，得n²+n-1200=0，解得$n₁=\frac{-1-\sqrt{4801}}{2}，$$n₂=\frac{-1+\sqrt{4801}}{2}.$又
∵n为正整数，
∴$n₁=\frac{-1-\sqrt{4801}}{2}，$$n₂=\frac{-1+\sqrt{4801}}{2}$均不符合题意.
∴这个三角点阵中前n行的点数和不能是600.