《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

9. (2024·太原期中)依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是( )

答案： 9.C

10. 如图，在四边形$ABCD$中，$E$，$F$，$G$，$H$分别是$AB$，$CD$，$AC$，$BD$的中点，添加下列条件，可以判定四边形$EHFG$为菱形的是(C)

A.$AC = BD$
B.$AB// CD$
C.$AD = BC$
D.$AC\perp BD$

答案： 10.C

11. 如图，线段$AB$，$CD$端点的坐标分别为$A(-1,2)$，$B(3,-1)$，$C(3,2)$，$D(-1,5)$，且$AB// CD$，将$CD$平移至第一象限内，得到$C'D'$($C'$，$D'$均在格点上). 要使四边形$ABC'D'$是菱形，则所有满足条件的点$D'$的坐标为(3,5)或(2,6).

答案： 11.(3,5)或(2,6)

12. 如图 1，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$E$，过点$E$作两条互相垂直的线段，分别交边$AB$，$BC$，$CD$，$DA$于点$P$，$M$，$Q$，$N$.
(1) 求证：$\triangle PBE\cong\triangle QDE$.
(2) 如图 2，顺次连接点$P$，$M$，$Q$，$N$，求证：四边形$PMQN$是菱形.

答案： 12.证明：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB = ED，AB//CD.
∴∠EBP = ∠EDQ.在△PBE和△QDE中，$\begin{cases} \angle EBP = \angle EDQ \\ EB = ED \\ \angle BEP = \angle DEQ \end{cases}$
∴△PBE≌△QDE(ASA).
(2)
∵△PBE≌△QDE，
∴EP = EQ.同理可证，△BME≌△DNE.
∴EM = EN.四边形PMQN是平行四边形.
∵PQ⊥MN，
∴平行四边形PMQN是菱形.

13. 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含$60^{\circ}$角的直角三角板$ABC$与$AFE$按如图 1 所示的位置放置，现将$\mathrm{Rt}\triangle AEF$绕点$A$按逆时针方向旋转角$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ})$，如图 2，$AE$与$BC$交于点$M$，$AC$与$EF$交于点$N$，$BC$与$EF$交于点$P$.
(1) 求证：$BM = FN$.
(2) 当旋转角$\alpha = 30^{\circ}$时，四边形$ABPF$是什么样的特殊四边形？并说明理由.

答案： 13.解：
(1)证明：由题意，得AB = AF，∠BAM = ∠FAN.在△ABM和△AFN中，$\begin{cases} \angle BAM = \angle FAN \\ AB = AF \\ \angle B = \angle F \end{cases}$
∴△ABM≌△AFN(ASA).
∴BM = FN.
(2)当旋转角α = 30°时，四边形ABPF是菱形.理由：
∵α = 30°，∠EAF = 90°，
∴∠FAB = 120°.
∵∠B = 60°，
∴∠B + ∠FAB = 180°.
∴AF//BP.
∴∠FPC = ∠F = 60°.
∴∠FPC = ∠B = 60°.
∴AB//FP.
∴四边形ABPF是平行四边形.又
∵AB = AF，
∴平行四边形ABPF是菱形.