《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

【例 1】如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，$E$ 为 $BC$ 上的一点，$BE = 1$，$F$ 为 $AB$ 的中点，$P$ 为 $AC$ 上一个动点，则 $PF + PE$ 的最小值为$\sqrt{17}$。

【思路点拨】(1)先确定点 $P$ 的位置：作点 $E$ 关于 $AC$ 的对称点 $E'$，连接 $FE'$，交 $AC$ 于点 $P$，则点 $P$ 即为所求，此时 $PF + PE$ 的最小值即为线段 $E'F$ 的长度；(2)求 $E'F$ 的长度：将 $E'F$ 放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出 $E'F$ 的长，即求出了 $PF + PE$ 的最小值。

答案： 【例1】$\sqrt{17}$

1.(2024·太原四十八中月考)如图，在正方形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，点 $E$ 在边 $CD$ 上，且 $DE = 2CE$，$P$ 是对角线 $AC$ 上的一个动点，则 $PE + PD$ 的最小值是(A)

A.$\sqrt{10}$
B.$\sqrt{3}$
C.$9$
D.$\sqrt{2}$

答案： 1.A

2. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AC = 8$，$BD = 6$，$E$ 是边 $CD$ 上一动点，过点 $E$ 分别作 $EF \perp OC$ 于点 $F$，$EG \perp OD$ 于点 $G$，连接 $FG$，则 $FG$ 的最小值为(A)

A.$2.4$
B.$3$
C.$4.8$
D.$4$

答案： 2.A

3. 如图，菱形 $ABCD$ 的边长为 $2$，$\angle ABC = 45^{\circ}$，$P$，$Q$ 分别是 $BC$，$BD$ 上的动点，则 $CQ + PQ$ 的最小值为$\sqrt{2}$。

答案： 3.$\sqrt{2}$

4.(2023·太原部分学校段考)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，$AD = \sqrt{5}$，点 $P$ 在 $AD$ 上，点 $Q$ 在 $BC$ 上，且 $AP = CQ$，连接 $CP$，$QD$，则 $PC + QD$ 的最小值为$\sqrt{41}$。

答案： 4.$\sqrt{41}$

【例 2】如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$P$ 为 $BC$ 上任意一点，$PE \perp AB$ 于点 $E$，$PF \perp AC$ 于点 $F$，$BM \perp AC$ 于点 $M$。求证：$PE + PF = BM$。

证明：连接 $AP$。
$\because PE \perp AB$，$PF \perp AC$，$BM \perp AC$，
$\therefore S_{\triangle ABP} =$$\frac{1}{2}AB\cdot PE$，$S_{\triangle ACP} =$$\frac{1}{2}AC\cdot PF$，$S_{\triangle ABC} =$$\frac{1}{2}AC\cdot BM$。
$\because$$S_{\triangle ABP}$$+$$S_{\triangle ACP}$$= S_{\triangle ABC}$，
$\therefore \frac{1}{2}AB \cdot PE + \frac{1}{2}AC \cdot PF = \frac{1}{2}AC \cdot BM$。
$\because AB = AC$，$\therefore PE + PF = BM$。
结论：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。

答案： 【例2】$\frac{1}{2}AB\cdot PE$ $\frac{1}{2}AC\cdot PF$ $\frac{1}{2}AC\cdot BM$ $S_{\triangle ABP}$ $S_{\triangle ACP}$

5.(教材 P19 习题 T5 变式)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$AD = 12$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$E$ 为边 $BC$ 上的一个动点，$EF \perp AC$，$EG \perp BD$，垂足分别为 $F$，$G$，则 $EF + EG =$$\frac{60}{13}$。

答案： 5.$\frac{60}{13}$

6. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$P$ 是对角线 $AC$ 上一动点，过点 $P$ 作 $PE \perp BC$ 于点 $E$，$PF \perp AB$ 于点 $F$。若菱形 $ABCD$ 的周长为 $20$，面积为 $24$，则 $PE + PF$ 的值为$\frac{24}{5}$。

答案： 6.$\frac{24}{5}$

7.(2024·晋中寿阳县期中改编)如图，在边长为 $4$ 的正方形 $ABCD$ 中，$E$ 是对角线 $BD$ 上的一点，且 $BE = BC$，点 $P$ 在 $EC$ 上，$PM \perp BD$ 于点 $M$，$PN \perp BC$ 于点 $N$，则 $PM + PN$ 的值为$2\sqrt{2}$。

答案： 7.$2\sqrt{2}$