《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

8. (2023·山西省实验中学月考)如图，将矩形纸片 $ABCD$ 沿直线 $EF$ 折叠，使点 $C$ 落在 $AD$ 边的中点 $C'$ 处，点 $B$ 落在点 $B'$ 处，其中 $AB = 9$，$BC = 6$，则 $FC'$ 的长为(D)

A.$\frac{10}{3}$
B.$4$
C.$4.5$
D.$5$

答案： 8.D

9. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$M$ 为边 $AD$ 的中点，$P$ 为 $BC$ 上一点，$PE\perp MC$，$PF\perp MB$。当 $AB$，$BC$ 满足条件AB=\frac{1}{2}BC时，四边形 $PEMF$ 为矩形。

答案： $9.AB=\frac{1}{2}BC$

10. 如图，在 $□ ABCD$ 中，连接 $BD$，$E$ 为线段 $AD$ 的中点，延长 $BE$ 与 $CD$ 的延长线交于点 $F$，连接 $AF$，$\angle BDF = 90^{\circ}$。
(1) 求证：四边形 $ABDF$ 是矩形。

(2) 若 $AD = 5$，$DF = 3$，求四边形 $ABCF$ 的面积 $S$。

答案： 10.解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BA//CD.
∴∠BAE=∠FDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE.在△BEA和△FED中$,\begin{cases} ∠BAE=∠FDE \\ AE=DE \\ ∠BEA=∠FED \end{cases} $
∴△BEA≌△FED(ASA).
∴EB=EF.又
∵AE=DE,
∴四边形ABDF是平行四边形.
∵∠BDF=90°,
∴平行四边形ABDF是矩形.
(2)由
(1)得,四边形ABDF是矩形,
∴∠AFD=90°,AB=DF=3,AF=BD.
∴$AF=\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4.$
∴$S_{矩形ABDF}=DF·AF=3×4=12,BD=AF=4.$
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=3.
∵∠BDF=∠BDC=90°,
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}BD·CD=\frac{1}{2}×4×3=6.$
∴$S=S_{矩形ABDF}+S_{△BCD}=12+6=18.$

11. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AC = 3$，$BC = 4$，$AB = 5$，点 $P$ 在 $AB$ 上（不与点 $A$，$B$ 重合），过点 $P$ 作 $PE\perp AC$，$PF\perp BC$，垂足分别是 $E$，$F$，连接 $EF$。
(1) 请判断四边形 $PECF$ 的形状，并说明理由。
(2) 随着点 $P$ 在边 $AB$ 上位置的改变，$EF$ 的长度是否存在最小值？若存在，请求出 $EF$ 的最小值；若不存在，请说明理由。

答案： 11.解：
(1)四边形PECF是矩形.理由：在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5.
∴$AC^{2}+BC^{2}=3^{2}+4^{2}=5^{2}=AB^{2}.$
∴∠ACB=90°.
∵PE⊥AC,PF⊥BC,
∴∠PEC=∠ECF=∠CFP=90°.
∴四边形PECF是矩形.
(2)EF的长度存在最小值.理由：连接CP,由
(1)知,四边形PECF是矩形.
∴EF=CP.过点C作CD⊥AB于点D.当PC=CD时,PC最小,此时$PC=\frac{AC·BC}{AB}=2.4.$
∴EF的最小值为2.4.

1. (2023·运城垣曲县期中)如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$DE$ 平分 $\angle ADC$，$\angle AOB = 60^{\circ}$，则 $\angle COE=$75$^{\circ}$。

答案： 1.75

2. 如图，在边长为 $5$ 的菱形 $ABCD$ 中，$\angle BAD = 60^{\circ}$，点 $E$，$F$ 分别在 $AD$，$CD$ 上，且 $\angle EBF = 60^{\circ}$，连接 $EF$。若 $AE = 2$，则 $EF$ 的长为\sqrt{19}。

答案： $2.\sqrt{19}$