《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 若矩形 $ABCD$ 的两邻边长分别是 $1$，$2$，则其对角线 $BD$ 的长是 (C)

A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}$

答案： 1.C

2. (2024·太原月考)如图，矩形 $ABCD$ 为一个正在倒水的水杯截面图. 若杯内水面刚好经过点 $D$，且 $\angle AED = 50^{\circ}$，则水杯底面 $BC$ 与水平面夹角 $\angle BCF$ 的度数为40°.

答案： 2.40°

3. (2024·陕西)如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，点 $E$ 和点 $F$ 在边 $BC$ 上，且 $BE = CF$. 求证：$AF = DE$.

答案： 3.证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD,∠B=∠C=90°.
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在△ABF和△DCE中，
$\begin{cases}AB=DC,\\\angle B=\angle C,\\BF=CE.\end{cases}$
∴△ABF≌△DCE(SAS).
∴AF=DE.

4. (2022·运城盐湖区期末)下列关于矩形的性质的说法中，错误的是 (D)

A.矩形的四个角都是直角
B.矩形的两组对边分别相等
C.矩形的两组对边分别平行
D.矩形的对角线互相垂直平分且相等

答案： 4.D

5. (2024·甘肃)如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$\angle ABD = 60^{\circ}$，$AB = 2$，则 $AC$ 的长为 (C)

A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$

答案： 5.C

6. 如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$BE // AC$ 交 $DC$ 的延长线于点 $E$. 求证：$BD = BE$.

答案： 6.证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AB//CD.又
∵BE//AC,
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AC=BE.
∴BD=BE.

7. 如图，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\angle BCA = 90^{\circ}$，$D$ 为 $AB$ 的中点.
(1)若 $AB = 16$，则 $CD =$8.
(2)若 $\angle ACD = 20^{\circ}$，则 $\angle B =$70°.

答案： 7.
(1)8
(2)70°

8. (2024·太原部分学校段考)一技术人员用刻度尺(单位：$cm$)测量某三角形部件的尺寸. 如图所示，已知 $\angle ACB = 90^{\circ}$，$D$ 为边 $AB$ 的中点，点 $A$，$B$ 对应的刻度分别为 $1$，$7$，则 $CD =$ (B)

A.$3.5\ cm$
B.$3\ cm$
C.$4.5\ cm$
D.$6\ cm$

答案： 8.B

9. 如图，已知 $AC \perp BC$，$AD \perp BD$，$E$ 为 $AB$ 的中点. 求证：$\triangle ECD$ 是等腰三角形.

答案： 9.证明：
∵AC⊥BC,AD⊥BD,
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.又
∵E为AB的中点,
∴CE=$\frac{1}{2}$AB,DE=$\frac{1}{2}$AB.
∴CE=DE.
∴△ECD是等腰三角形.