《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，且AC＞BC，下列说法错误的是(C)

A.若$\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$，则线段AB被点C黄金分割
B.若$AC^{2}=AB\cdot BC$，则线段AB被点C黄金分割
C.若线段AB被点C黄金分割，则BC与AB的比叫做黄金比
D.0.618是黄金比的近似值

答案： 1.C

2. 已知C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC.若AB=2，则AC的长为$\sqrt{5}-1$(结果保留根号).

答案： $2.\sqrt{5}-1$

3. 如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2m，则a约为(A)

A.1.24m
B.1.38m
C.1.42m
D.1.62m

答案： 3.A

4. 新考向 跨学科(2024·山西)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB//NP，“晋”字的笔画“”的位置在AB的黄金分割点C处，且$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.若NP=2cm，则BC的长为(\sqrt{5}-1)cm(结果保留根号).

答案： $4.(\sqrt{5}-1)$

5. 已知线段MN的长为1cm，P是MN的黄金分割点，则MP的长是$\frac{\sqrt{5}-1}{2} cm $或$ \frac{3-\sqrt{5}}{2} cm$.(结果保留根号)

答案： $5.\frac{\sqrt{5}-1}{2} cm $或$ \frac{3-\sqrt{5}}{2} cm$

6. (2023·绵阳)黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱.摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，其原理是：如图，在正方形ABCD的底边BC上取中点E，以点E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形(宽与长的比等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫做黄金矩形).若CF=4a，则AB=(D)


A.$(\sqrt{5}-1)a$
B.$(2\sqrt{5}-2)a$
C.$(\sqrt{5}+1)a$
D.$(2\sqrt{5}+2)a$

答案： 6.D

7. (2023·达州)如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为_______cm.(结果保留根号)

答案： $7.(80\sqrt{5}-160)$

8. 新考向 阅读理解(2024·晋中寿阳县期中)阅读下列材料，并按要求完成相应的任务.
黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现(如图1)，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP，PB，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{AB}$(此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项)，则可得出这一比值等于$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$(0.618…).这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点.
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使$BD=\frac{1}{2}AB$，连接DA，在DA上截取DE=DB，在AB上截取AC=AE，点C就是线段AB的黄金分割点.
任务：
(1)求证：点C是线段AB的黄金分割点.
(2)若BD=1，则BC的长为3-\sqrt{5}.(结果保留根号)

答案： 8.解：
(1)证明：设BD=x,则AB=2x.由勾股定理，得$AD=\sqrt{5}x.$
∵DE=BD,AE=AC.
∴$AC=AE=AD-DE=AD-BD=(\sqrt{5}-1)x.$
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$
∴点C是线段AB的黄金分割点。$(2)3-\sqrt{5}$