《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. (教材 P80 随堂练习变式)如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{3}$($a,b,c,d,e,f$均为正数),那么下列选项中错误的是(D)

A.$\frac{a + c}{b + d}=\frac{1}{3}$
B.$\frac{a + e}{b + f}=\frac{1}{3}$
C.$\frac{a + c + e}{b + d + f}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{a}{b}=\frac{c + m}{d + m}(m ＞ 0)$

答案： 1.D

2. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{4}{3}$,若$b + d + f = 9$,则$a + c + e =$12.

答案： 2.12

3. 若$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}(b\neq - 6)$,则$\frac{a + 4}{b + 6}$的值为\frac{2}{3}.

答案： $3.\frac{2}{3}$

4. (教材 P80 例 2 变式)如图,在$\triangle ABC$中,$D,E,F$分别为$AB$,$BC,AC$的中点,连接$DE,DF$,$EF$,则$\frac{DE + EF + DF}{AC + AB + BC}$的值为\frac{1}{2}.

答案： $4.\frac{1}{2}$

5. (教材 P81 习题 T3 的变式)(2024·介休市期中)若$\frac{y}{x}=\frac{3}{4}$,则$\frac{x + y}{x}$的值为(D)

A.$1$
B.$\frac{4}{7}$
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{7}{4}$

答案： 5.D

6. (2024·太原五中月考)如果$\frac{a - b}{b}=\frac{3}{5}$,那么$\frac{a}{b}=$\frac{8}{5}.

答案： $6.\frac{8}{5}$

7. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}$,则$\frac{a + c - 2e}{b + d - 2f}(b + d - 2f\neq 0)$的值为\frac{3}{4},$\frac{a - 2c + 3e}{2b - 4d + 6f}(2b - 4d + 6f\neq 0)$的值为\frac{3}{8}.

答案： $7.\frac{3}{4} \frac{3}{8}$

8. 已知$a:b:c = 3:5:7$,且$a - b + c = 10$,则$a =$6,$b =$10,$c =$14.

答案： 8.6 10 14

9. 已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边长,满足$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}$,且$a + b + c = 12$,请探索$\triangle ABC$的形状.

答案： 9.解：由等比性质，得$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}=\frac{a + 4 + b + 3 + c + 8}{3 + 2 + 4}，$$\because a + b + c = 12，$$\therefore\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}=\frac{12 + 4 + 3 + 8}{3 + 2 + 4}=3.\therefore a + 4 = 9，$b + 3 = 6，$c + 8 = 12.\therefore a = 5，$b = 3，$c = 4.\because b^{2} + c^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 = a^{2}，$$\therefore\triangle ABC$是直角三角形.

10. 若$\frac{a + b}{c}=\frac{b + c}{a}=\frac{c + a}{b}=k$,则$k$的值为2或-1.

答案： 10.2或-1

11. 新考向 推理能力(本课时 T10 变式)$a,b,c$均为非零实数,且满足$\frac{a + b - c}{c}=\frac{a - b + c}{b}=\frac{- a + b + c}{a}$,求$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$的值.

答案： 11.解：①当$a + b + c\neq0$时，由等比性质，得$\frac{a + b - c}{c}=\frac{a - b + c}{b}=\frac{-a + b + c}{a}=\frac{a + b - c + a - b + c - a + b + c}{a + b + c}=1，$$\therefore a + b - c = c，$a - b + c = b，$-a + b + c = a.\therefore a + b = 2c，$a + c = 2b，$b + c = 2a.\therefore\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}=\frac{2c\cdot2a\cdot2b}{abc}=8.②$当a + b + c = 0时，a + b = -c，b + c = -a，c + a = -b，$\therefore\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}=\frac{(-c)(-a)(-b)}{abc} = -1.$综上所述，$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$的值为8或-1.