《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. (教材P21例1变式)如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P。
(1) 求证：△ABN≌△DAM。
(2) 求∠APM的度数。

答案： 1. 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC，∠DAM=∠ABN=90°．
∴∠ADM+∠AMP=90°．
∵BM=CN．
∴BC-CN=AB-BM，即BN=AM. 在△ABN和△DAM中，∠ABN=∠DAM．AB=DA．BN=AM．
∴△ABN≌△DAM(SAS).
(2)由
(1)知，△ABN≌△DAM．
∴∠BAN=∠ADM．
∴∠BAN+∠AMP=∠ADM+∠AMP=90°．
∴∠APM=180°-(∠BAN+∠AMP)=90°．

【变式1】(2024·山西模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E为边BC上一点，连接DE，过点A作DE的垂线交CD于点F，连接BF。若CE=2，则BF的长为( )


A.$2\sqrt{10}$
B.$4\sqrt{13}$
C.8
D.$2\sqrt{13}$

答案： 【变式1】D

2. (教材P21随堂练习变式)如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，延长CE交AD于点F。
(1) 求证：△ABE≌△CBE。
(2) 若∠AEC=140°，求∠DFE的度数。

答案： 2. 解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠ADC=90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=45°. 在△ABE和△CBE中，AB=CB．∠ABE=∠CBE．BE=BE．
∴△ABE≌△CBE(SAS).
(2)
∵△ABE≌△CBE，∠AEC=140°．
∴$∠AEB=∠CEB=\frac{1}{2}∠AEC=70°．$
∴∠DEC=180°-∠CEB=110°．
∴∠DFE=∠DEC-∠ADB=110°-45°=65°.

【变式2】(2024·晋城阳城县期末)如图，E为正方形ABCD外一点，且ED=CD，连接AE，交BD于点F，连接CF。若∠CDE=40°，则∠DCF的度数为( )


A.23°
B.24°
C.25°
D.26°

答案： 【变式2】C

3. (教材P25习题T4变式)如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A₁B₁C₁O的一个顶点，OA₁交AB于点E，OC₁交BC于点F。
(1) 求证：△AOE≌△BOF。

(2) 如果两个正方形的边长都为a，正方形A₁B₁C₁O绕点O转动，那么两个正方形重叠部分(四边形OEBF)的面积等于多少？为什么？

答案： 3. 解：
(1)证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=∠AOC=90°，∠OAE=∠OBF=45°．
∴∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°．
∴∠AOE=∠BOF．
∴△AOE≌△BOF(ASA).
(2)两个正方形重叠部分的面积等于$\frac{1}{4}a^2. $理由：
∵△AOE≌△BOF．
∴$S_{四边形OEBF}=S_{△BOE}+S_{△BOF}=S_{△BOE}+S_{△AOE}=S_{△AOB}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}a^2．$