《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 如图，已知$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，$AB:DE = 1:2$，则下列等式一定成立的是(D)


A.$\frac{BC}{DF} = \frac{1}{2}$
B.$\frac{\angle A 的度数}{\angle D 的度数} = \frac{1}{2}$
C.$\frac{\triangle ABC 的面积}{\triangle DEF 的面积} = \frac{1}{2}$
D.$\frac{\triangle ABC 的周长}{\triangle DEF 的周长} = \frac{1}{2}$

答案： 1.D

2. 如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上画了一个“$×$”(作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等)，$A$，$B$，$C$，$D$，$O$都在横格线上，且线段$AD$，$BC$交于点$O$。若线段$AB = 4\mathrm{cm}$，则线段$CD$的长为(C)


A.$4\mathrm{cm}$
B.$5\mathrm{cm}$
C.$6\mathrm{cm}$
D.$8\mathrm{cm}$

答案： 2.C

3. (2024·晋中平遥县一模)如图，$D$，$E$分别是$\triangle ABC$的边$AB$，$AC$上的点，且$AD = \frac{1}{3}AB$，$AE = \frac{1}{3}AC$，$CD$与$BE$交于点$O$，则$S_{\triangle COE}:S_{\triangle BOC}$的值为(D)

A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 3.D

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$AC = 8$，$E$是$AC$上一点，$AE = 5$，过点$E$作$ED \perp AB$于点$D$，则$AD$的长为4。

答案： 4.4

5. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$\angle ABC$的平分线交$AC$于点$E$，交$AD$于点$F$，交$CD$的延长线于点$G$。若$AF = 2FD$，则$\frac{BE}{EG}$的值为\frac{2}{3}。

答案： $5.\frac{2}{3}$

6. 如图，在正方形$ABCD$中，$E$为$AD$的中点，连接$BE$交$AC$于点$F$。若$AB = 6$，则$\triangle AEF$的面积为3。

答案： 6.3

7. (2023·晋城泽州县期中)如图，在$\triangle ABC$中，$AB \lt AC$，将$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$\triangle ADE$，点$D$在边$BC$上，$DE$交$AC$于点$F$。若$AC = 8$，$BD = 2$，$BC = 6$，则$\frac{DF}{AF} =$\frac{1}{2}。

答案： $7.\frac{1}{2}$

8. 如图，将矩形纸片$ABCD$沿$EF$折叠，点$B$的对应点$B'$恰好落在$DC$的中点上。若$AB = 2$，$BC = 3$，则$\triangle FCB'$与$\triangle B'DG$的面积比为16:9。

答案： 8.16:9

9. (2023·广东)边长分别为$10$，$6$，$4$的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为15。

答案： 9.15

10. (2023·山西)如图，在四边形$ABCD$中，$\angle BCD = 90^{\circ}$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$。若$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$\angle ADB = 2\angle CBD$，则$AD$的长为\frac{\sqrt{97}}{3}。

答案： $10.\frac{\sqrt{97}}{3}$

11. （2023·晋城泽州县期中）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A' = \angle A$。
（1）以线段$A'B'$为边，利用尺规在给出的图形上作出$\triangle A'B'C'$，使得$\triangle A'B'C' \backsim \triangle ABC$。（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）中所作的图形中，若$AB = 5$，$A'B' = 8$，$BC = 3$，求$B'C'$的长。

答案：
11.解：
(1)

(2)
∵△A'B'C'∽△ABC，$\therefore\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}，$$\therefore\frac{8}{5}=\frac{B'C'}{3}\therefore B'C'=\frac{24}{5}。$