《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

12. (2023·岳阳)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2mx + m^{2}-m + 2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1},x_{2}$，且 $x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=2$，则实数 $m=$3。

答案： 12.3

13. 若一元二次方程 $x^{2}-7x + 5 = 0$ 的两个实数根分别是 $a,b$，则一次函数 $y = abx + a + b$ 的图象一定不经过 (D)

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 13.D

14. (2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是 $-2$ 和 $-5$。则原来的方程是 (B)

A.$x^{2}+6x + 5 = 0$
B.$x^{2}-7x + 10 = 0$
C.$x^{2}-5x + 2 = 0$
D.$x^{2}-6x - 10 = 0$

答案： 14.B

15. (2023·乐山)若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-8x + m = 0$ 两根为 $x_{1},x_{2}$，且 $x_{1}=3x_{2}$，则 $m$ 的值为 (C)

A.4
B.8
C.12
D.16

答案： 15.C

16. 【整体思想】(2024·德州)已知 $a$ 和 $b$ 是方程 $x^{2}+2024x - 4 = 0$ 的两个解，则 $a^{2}+2023a - b$ 的值为2028。

答案： 16.2028

17. (2023·襄阳)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + 3 - k = 0$ 有两个不相等的实数根。
(1) 求 $k$ 的取值范围。
(2) 若方程的两个根为 $\alpha,\beta$，且 $k^{2}=\alpha\beta + 3k$，求 $k$ 的值。

答案： 17.解：
(1)$\because$方程有两个不相等的实数根，$\therefore b^{2} - 4ac ＞ 0$，即$2^{2} - 4 × 1 × (3 - k) = - 8 + 4k ＞ 0$.解得$k ＞ 2$.
(2)$\because$方程的两个根为$\alpha$，$\beta$，$\therefore\alpha\beta = \frac{c}{a} = 3 - k$，$\therefore k^{2} = 3 - k + 3k$，解得$k_1 = 3$，$k_2 = - 1$.$\because k ＞ 2$，$\therefore k$的值为$3$.

18. 新考向 阅读理解(2023·忻州期中)阅读材料：
材料1：若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$ 的两个根为 $x_{1},x_{2}$，则有 $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
材料2：已知一元二次方程 $x^{2}-x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m,n$，求 $m^{2}+n^{2}$ 的值。
解：$\because$ 方程 $x^{2}-x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m,n$，$\therefore m + n = 1,mn=-1$。
$\therefore m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn = 1^{2}-2×(-1)=3$。
根据上述材料，结合你所学的知识，解决下列问题：
(1) 材料理解：若一元二次方程 $2x^{2}-3x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1},x_{2}$，则 $x_{1}+x_{2}=$$\frac{3}{2}$，$x_{1}x_{2}=$$-\frac{1}{2}$。
(2) 类比应用：已知一元二次方程 $2x^{2}-3x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m,n$，求 $m^{2}n + mn^{2}$ 的值。
(3) 思维拓展：已知实数 $m,n$ 满足 $2m^{2}-3m - 1 = 0,2n^{2}-3n - 1 = 0$，且 $m\neq n$，求 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 的值。

答案： 18.解：
(1)$\frac{3}{2} - \frac{1}{2}$
(2)$\because$一元二次方程$2x^{2} - 3x - 1 = 0$的两个实根分别为$m$，$n$，$\therefore m + n = \frac{3}{2}$，$mn = -\frac{1}{2}$.$\therefore m^{2}n + mn^{2} = mn(m + n) = -\frac{1}{2} × \frac{3}{2} = -\frac{3}{4}$.
(3)$\because$实数$m$，$n$满足$2m^{2} - 3m - 1 = 0$，$2n^{2} - 3n - 1 = 0$，且$m \neq n$，$\therefore m$，$n$是关于$x$的一元二次方程$2x^{2} - 3x - 1 = 0$的两个实数根.$\therefore m + n = \frac{3}{2}$，$mn = -\frac{1}{2}$.$\therefore\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{m + n}{mn} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}} = - 3$.