《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

11. 如图，以AD为边在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则$\angle BED=$45°.
【拓展变式】在正方形ABCD所在的平面内，以AD为边作等边三角形ADE，则$\angle BED=$45°或135°.

答案： 11.45°【拓展变式】45°或135°

12. (教材P25习题T4变式)如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点放在点A处，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是16.

答案： 12.16

13. 如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且$DM = 2$，N是AC上的一动点，则$DN + MN$的最小值是10.

答案： 13.10

14. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，且$AE = CF$，连接DE，DF，BE，BF.
(1)求证：$\triangle ADE\cong\triangle CBF$.
(2)若$AB = 4\sqrt{2}$，$AE = 2$，求四边形BEDF的周长.

答案： 14.解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAE=∠BCF=45°,AD=CB.在△ADE和△CBF中$,\begin{cases}AD=CB,\\ ∠DAE=∠BCF,\\ AE=CF,\end{cases}△ADE≌△CBF(SAS).(2)$
∵$AB=AD=4\sqrt{2},$
∴$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{2})^{2}+(4\sqrt{2})^{2}}=8,$
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD=8,BD⊥EF.
∴DO=BO=OA=OC=4.又
∵AE=CF=2,
∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF=4-2=2.
∴四边形BEDF为菱形.
∵$DE=\sqrt{DO^{2}+EO^{2}}=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5},$
∴四边形BEDF的周长为$4DE=8\sqrt{5}.$

15. 如图1，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且$PA = PE$，PE交CD于点F，连接PC，CE.
(1)如果平行四边形ABCD为正方形，那么$\triangle EPC$的形状是等腰直角三角形.
(2)如图2，如果平行四边形ABCD为菱形，当$\angle ABC = 120^{\circ}$时，试探究$\triangle EPC$的形状，并说明理由.

答案： 15.解：
(1)等腰直角三角形
(2)结论：△EPC是等边三角形.理由：
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=DC,∠ADB=∠CDB,∠ADC=∠ABC=120°.在△PDA和△PDC中$,\begin{cases}PD=PD,\\ ∠PDA=∠PDC,\\ DA=DC,\end{cases}△PDA≌△PDC(SAS).$
∴PA=PC,∠DAP=∠DCP.
∵PA=PE,
∴∠PEA=∠PAE,PA=PE=PC.
∴∠DCP=∠PEA.
∵∠DFE=∠PFC,
∴∠EPC=∠EDC.
∵∠ADC=120°.
∴∠EPC=∠EDC=60°.
∵PE=PC,
∴△EPC是等边三角形.