《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. (2024·山西省实验中学月考)下列性质中,菱形一定具有的是 (C)

A.对角线相等
B.有一个角是直角
C.对角线互相垂直
D.四个角相等

答案： 1.C

2. (2024·太原部分学校段考)如图,将四根长度相等的细木条首尾相连,用钉子钉成四边形 $ABCD$. 若 $\angle ABC = 50^{\circ}$, 则 $\angle DAC$ 的度数为 (C)

A.$50^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$70^{\circ}$

答案： 2.C

3. 新考向 开放性问题 如图, $□ ABCD$ 的对角线 $AC$, $BD$ 相交于点 $O$, 点 $E$, $F$, $G$, $H$ 分别是 $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ 的中点. 若要使四边形 $EFGH$ 成为菱形, 则 $□ ABCD$ 应满足的条件是 $AB=AD$（答案不唯一）(写出一种即可).

答案： 3.$AB=AD$（答案不唯一）

4. (2024·侯马市期末)中国结寓意团圆、美满,以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴. 如图所示的中国结可近似地看为一个菱形, 菱形 $ABCD$ 的周长为 $80\mathrm{cm}$, 对角线 $BD$ 的长为 $24\mathrm{cm}$, 则对角线 $AC$ 的长为 $32 cm$.

答案： 4.$32 cm$

5. 新考向 真实情境 如图, 四边形 $ABCD$ 是一个风筝的框架示意图, $G$ 为 $AC$ 的中点, 四边形 $AECF$ 是菱形, $\angle ABC = \angle ADC = 90^{\circ}$.
(1) 若 $\angle EAF = 60^{\circ}$, 求证: 四边形 $ABGD$ 是菱形.
(2) 若 $AB = 2$, $BC = 4$, 求菱形 $AECF$ 的面积.

答案： 5.解：
(1)证明：$\because$四边形$AECF$是菱形，$\therefore \angle ECF = \angle EAF = 60°$，$\angle ACE = \angle ACF = \frac{1}{2} \angle ECF = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。$\because \angle ABC = \angle ADC = 90°$，$\therefore AB = AD = \frac{1}{2}AC$。$\because G$为$AC$的中点，$\therefore BG = DG = \frac{1}{2}AC$，$\therefore AB = AD = BG = DG$，$\therefore$四边形$ABGD$是菱形。
(2)连接$EF$。$\because$四边形$AECF$是菱形，$\therefore EF \perp AC$，且$EF$经过$AC$的中点$G$，$EF = 2EG$，$AE = CE$，$\therefore \angle AGE = 90°$。在$Rt \triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$，$\therefore AG = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$。在$Rt \triangle ABE$中，由勾股定理，得$AE^2 = AB^2 + BE^2$，即$AE^2 = 2^2 + (4 - AE)^2$，解得$AE = \frac{5}{2}$。在$Rt \triangle AGE$中，由勾股定理，得$EG = \sqrt{AE^2 - AG^2} = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$，$\therefore EF = 2EG = 2 × \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$，$\therefore S_{菱形 AECF} = \frac{1}{2}AC \cdot EF = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} × \sqrt{5} = 5$。

6. (2023·怀仁市期中)如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $DE // CA$, $DF // BA$, 下列四个判断不正确的是 (C)

A.四边形 $AEDF$ 是平行四边形
B.如果 $\angle BAC = 90^{\circ}$, 那么四边形 $AEDF$ 是矩形
C.如果 $AD$ 平分 $\angle BAC$, 那么四边形 $AEDF$ 是矩形
D.如果 $AD \perp BC$, 且 $AB = AC$, 那么四边形 $AEDF$ 是菱形

答案： 6.C

7. (2024·阳泉盂县二模)如图, 在矩形 $ABCD$ 中, 对角线 $AC$, $BD$ 相交于点 $O$, $AC = 2AB$, 在 $BC$ 上截取 $BE = AB$, 连接 $AE$, $OE$, 则 $\angle AEO$ 的度数为 $30°$.

答案： 7.$30°$

8. (教材 $P27$ 复习题 $T14$ 变式)如图, 在 $□ ABCD$ 中, $\angle B = 60^{\circ}$, $AB = 4$, $AD = 6$, 动点 $F$ 从点 $D$ 出发, 以 $1$ 个单位长度每秒的速度从点 $D$ 向点 $A$ 运动, 同时动点 $E$ 以相同速度从点 $C$ 出发, 沿 $BC$ 方向在 $BC$ 的延长线上运动. 设运动时间为 $t\mathrm{s}$, 连接 $DE$, $CF$. 探究: ①当 $t =$ 4, 四边形 $DECF$ 是菱形; ②当 $t =$ 2, 四边形 $DECF$ 是矩形.

答案： 8.4 2