《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

11. (2024·临夏州)如图，$O$是坐标原点，菱形$ABOC$的顶点$B$在$x$轴的负半轴上，顶点$C$的坐标为$(3,4)$，则顶点$A$的坐标为(C)

A.$(-4,2)$
B.$(-\sqrt{3},4)$
C.$(-2,4)$
D.$(-4,\sqrt{3})$

答案： 11.C

12. (2024·海南)如图，菱形$ABCD$的边长为$2$，$\angle ABC = 120^{\circ}$，边$AB$在数轴上，将$AC$绕点$A$顺时针旋转，点$C$落在数轴上的点$E$处。若点$E$表示的数是$3$，则点$A$表示的数是3-2√3。

答案： 12.3-2$\sqrt{3}$

13. 新考向 真实情境(2024·临汾尧都区期末)“福”字象征着中华民族的历史文化与精神。图$1$是小红家大门上的“福”字，图$2$是抽离出来的菱形$ABCD$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$\angle ABC = 80^{\circ}$，$E$是线段$AO$上一点，且$BC = CE$，则$\angle OBE$的度数是25°。

答案： 13.25°

14. 如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$D$作对角线$BD$的垂线交$BA$的延长线于点$E$。
（1）求证：四边形$ACDE$是平行四边形。
（2）若$AC = 8$，$BD = 6$，求$\triangle ADE$的周长。

答案： 14.解：
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形.
∴AB//CD,AC⊥BD.
∴AE//CD,∠AOB=90°.
∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,
∴∠AOB=∠EDB.
∴DE//AC.
∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)
∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,
∴AO=4,DO=3.
∴AD=CD=$\sqrt{AO^{2}+DO^{2}}$=5.
∵四边形ACDE是平行四边形.
∴AE=CD=5,DE=AC=8.
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.

15. 如图，在边长为$4$的菱形$ABCD$中，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$E$，$F$分别是边$BC$，$CD$上的两个动点，$\angle EAF = 60^{\circ}$。
(1)试判断$\triangle AEF$的形状，并说明理由。
(2)求四边形$AECF$的面积。

【拓展设问】 在点$E$，$F$运动的过程中，$\triangle CEF$的面积存在最大值吗？若存在，则最大值为√3。

答案： 15.解：
(1)△AEF为等边三角形.理由如下：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD,AB//CD,AD//BC.
∴∠ACE=∠CAD.
∵∠BAD=120°,
∴∠D=180°-∠BAD=60°.△ADC是等边三角形.
∴AC=AD,∠D=∠CAD=60°.
∴∠ACE=∠D.
∵∠EAF=60°,
∴∠EAF-∠CAF=∠CAD-∠CAF,即∠CAE=∠DAF.
∴△CAE≌△DAF(ASA).
∴AE=AF.又
∵∠EAF=60°.
∴△AEF为等边三角形.
(2)过点A作AM⊥CD于点M.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=CD=AB=4.
∵△ADC是等边三角形,AM⊥CD,
∴DM=$\frac{1}{2}$CD=2.
∴AM=$\sqrt{AD^{2}-DM^{2}}$=$\sqrt{4^{2}-2^{2}}$=2$\sqrt{3}$.由
(1)可知，△CAE≌△DAF.
∴$S_{\triangle CAE}$=$S_{\triangle DAF}$,
∴$S_{四边形EAECF}$=$S_{\triangle ADC}$=$\frac{1}{2}$×CD·AM=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$.【拓展设问】$\sqrt{3}$