《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. (2023·太原期中)已知在四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=\angle B=\angle C=90^{\circ}$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$。下列结论一定成立的是(B)

A.$AC\perp BD$
B.$AC=BD$
C.$AB=BC$
D.$AB=AC$

答案： 1.B

2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$。若 $\triangle AOB$ 的面积是 $3$，则矩形 $ABCD$ 的面积是(C)

A.$6$
B.$9$
C.$12$
D.$15$

答案： 2.C

3. 新考向 真实情境 满洲窗，作为岭南建筑的一个独特符号，彰显着岭南文化的兼收并蓄。工人师傅在制作矩形满洲窗的窗框时，分三个步骤进行：①如图 $1$，先截出两对符合规格的木条，使 $AB = CD$，$EF = GH$；②摆成如图 $2$ 所示的四边形；③，矩形窗框制作完成。下列方法中不能作为制作工序的第③个步骤的是(C)

A.将直角尺紧靠窗框一个角，调整窗框的边框使得直角尺的两条直角边与窗框无缝隙
B.调整窗框的边框使得两条对角线长度相等
C.调整窗框的边框使得两条对角线互相垂直
D.调整窗框的边框使得两条对角线与边 $CD$ 的夹角相等

答案： 3.C

4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$，$AC = 2AB$，则 $\angle AOD$ 的度数等于120°。

答案： 4.120°

5. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，$CE\perp BD$，垂足为 $E$，$CE = 5$，且 $EO = 2DE$，则 $AC$ 的长为6\sqrt{5}。

答案： $5.6\sqrt{5}$

6. 如图，在 $□ ABCD$ 中，$\angle ACB=\angle DBC$。
(1) 求证：平行四边形 $ABCD$ 是矩形。
(2) 若 $AB = 2$，$\angle ACB = 30^{\circ}$，求 $BC$ 的长。

答案： 6.解：
(1)证明：
∵∠ACB=∠DBC,
∴BO=CO.
∵四边形是ABCD平行四边形,
∴AC=2OC,BD=2OB.
∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD是矩形.
(2)
∵在矩形ABCD中,∠ABC=90°,
∴△ABC是直角三角形.
∵∠ACB=30°,
∴AC=2AB=2×2=4.
∴$BC=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}.$

7. (2024·太原尖草坪区月考)如图，点 $O$ 是菱形 $ABCD$ 对角线的交点，过点 $C$ 作 $CE// OD$，过点 $D$ 作 $DE// AC$，$CE$ 与 $DE$ 相交于点 $E$。
(1) 求证：四边形 $OCED$ 是矩形。
(2) 若 $AB = 4$，$\angle ABC = 60^{\circ}$，求矩形 $OCED$ 的周长。

答案： 7.解：
(1)证明：
∵CE//OD,DE//AC,
∴四边形OCED是平行四边形.又
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,即∠COD=90°.
∴平行四边形OCED是矩形.
(2)
∵在菱形ABCD中,AB=4,
∴AB=BC=CD=4.又
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=4.
∴$OC=\frac{1}{2}AC=2.$
∴$OD=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}.$
∴矩形OCED的周长是$2(2+2\sqrt{3})=4+4\sqrt{3}.$