《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

5. 解下列一元二次方程：
(1) $x^2 - 2x - 3 = 0$。
(2) $2y^2 + 4y = y + 2$。
(3) $2x^2 + 2x - 3 = (x - 4)^2$。

答案： 5. 解：
(1)【解法一：配方法】$x^2 - 2x + 1 = 3 + 1$，$(x - 1)^2 = 4$，$\therefore x - 1 = \pm 2$。$\therefore x_1 = 3$，$x_2 = -1$。【解法二：因式分解法】$x^2 - 2x - 3 = 0$，$(x - 3)(x + 1) = 0$，$\therefore x_1 = 3$，$x_2 = -1$。
(2)$2y(y + 2) - (y + 2) = 0$，$(y + 2)(2y - 1) = 0$，$\therefore y + 2 = 0$或$2y - 1 = 0$。$\therefore y_1 = -2$，$y_2 = \frac{1}{2}$。
(3)整理，得$x^2 + 10x - 19 = 0$，$x^2 + 10x = 19$，$x^2 + 10x + 25 = 19 + 25$。即$(x + 5)^2 = 44$，$x + 5 = \pm 2\sqrt{11}$。$\therefore x_1 = -5 + 2\sqrt{11}$，$x_2 = -5 - 2\sqrt{11}$。

6. (2024·山西大学附中月考)解方程 $(x - 1)^2 - 5(x - 1) + 4 = 0$ 时，我们可以将 $x - 1$ 看成一个整体，设 $x - 1 = y$，则原方程可化为 $y^2 - 5y + 4 = 0$，解得 $y_1 = 1$，$y_2 = 4$。当 $y = 1$ 时，$x - 1 = 1$，解得 $x = 2$；当 $y = 4$ 时，$x - 1 = 4$，解得 $x = 5$，所以原方程的解为 $x_1 = 2$，$x_2 = 5$。请利用这种方法解方程：$(3x + 5)^2 - 4(3x + 5) + 3 = 0$。

答案： 6. 解：设$t = 3x + 5$，则原方程可化为$t^2 - 4t + 3 = 0$，即$(t - 1)(t - 3) = 0$。$\therefore t = 1$或$t = 3$。当$t = 1$时，$3x + 5 = 1$，解得$x = -\frac{4}{3}$；当$t = 3$时，$3x + 5 = 3$，解得$x = -\frac{2}{3}$。综上所述，原方程的解是$x_1 = -\frac{4}{3}$，$x_2 = -\frac{2}{3}$。

7. 新考向 阅读理解 (2024·朔州怀仁市期中)
阅读与思考
下面是小亮同学的数学小论文 (部分)，请仔细阅读并完成相应的任务。

任务：
(1) 上述过程中的 $a$，$b$，$c$，$d$ 表示的数分别为5，2，-2，-8。
(2) 请用“平均数法”解方程：$(x - 5)(x + 3) = 5$。

答案： 7. 解：
(1)$5$ $2$ $-2$ $-8$
(2)原方程可变形为$[(x - 1) - 4][(x - 1) + 4] = 5$。由平方差公式，得$(x - 1)^2 - 4^2 = 5$。移项，得$(x - 1)^2 = 5 + 4^2$，即$(x - 1)^2 = 21$。直接开平方并整理，得$x_1 = 1 + \sqrt{21}$，$x_2 = 1 - \sqrt{21}$。