《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. (2024·吕梁孝义市月考)下列关于x的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是 (A)

A.$2x^{2}=x$
B.$9x^{2}-12x + 4 = 0$
C.$x^{2}+x + 1 = 0$
D.$x(x + 4)+5 = 0$

答案： 1.A

2. (2024·太原期末)课堂上,同学们围绕一元二次方程$2x^{2}+▲x - 5 = 0$的根的情况展开讨论,其中一次项系数被遮挡,下面四位同学的观点中正确的是 (B)

A.无论“▲”为何值,该方程都有两个相等的实数根
B.无论“▲”为何值,该方程都有两个不相等的实数根
C.无论“▲”为何值,该方程都只有一个实数根
D.因为“▲”的值不确定,无法判定该方程有没有实数根

答案： 2.B

3. (2023·晋城沁水县期末)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-mx + 2m - 4 = 0$.
(1)求证:方程总有两个实数根.
(2)若方程有一个根为1,求m的值.

答案： 3. 解：
(1)证明：$\because\Delta=(-m)^2 - 4×1×(2m - 4)=m^2 - 8m + 16=(m - 4)^2\geq0.\therefore$方程总有两个实数根.
(2)把$x = 1$代人$x^2 - mx + 2m - 4 = 0$，得$1 - m + 2m - 4 = 0$，解得$m = 3$.

4. 若方程$x^{2}-2x + m = 0$没有实数根,则m的值可以是 (D)

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$\sqrt{3}$

答案： 4.D

5. 若关于x的一元二次方程$x^{2}+bx + c = 0$有两个相等的实数根,则$b^{2}-2(1 + 2c)=$(A)

A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$

答案： 5.A

6. 若关于x的一元二次方程$\frac{1}{4}x^{2}-x + kb + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则一次函数$y = kx + b$的图象可能是 (B)

]

答案： 6.B

7. (2023·朔州右玉县期中)若关于x的一元二次方程$(k - 1)x^{2}+x + 1 = 0$有两个实数根,则k的取值范围是$k\leq\frac{5}{4}$且$k\neq1$.

答案： 7.$k\leq\frac{5}{4}$且$k\neq1$

8. (2024·太原月考)已知菱形的两条对角线分别为12a和$a + b$.
(1)用含a,b的代数式表示菱形的面积.
(2)若关于x的方程$x^{2}+2ax - ab + 1 = 0$有两个相等的实数根,求此时菱形的面积.

答案： 8. 解：
(1)菱形的面积为$\frac{1}{2}×12a×(a + b)=6a^2 + 6ab$.
(2)由题意，得$\Delta=(2a)^2 - 4×(-ab + 1)=0$，即$4a^2 + 4ab - 4 = 0$，$\therefore a^2 + ab = 1.\therefore$菱形的面积为$6(a^2 + ab)=6$.

9. 已知$\triangle ABC$的$\angle A,\angle B,\angle C$所对的边分别为a,b,c,且关于x的方程$a(x^{2}-1)-2bx + c(x^{2}+1)=0$有两个相等的实数根,判断$\triangle ABC$的形状并说明理由.

答案： 9. 解：$\triangle ABC$是直角三角形. 理由：$\because$关于$x$的方程$a(x^2 - 1)-2bx + c(x^2 + 1)=0$，即$(a + c)x^2 - 2bx + c - a = 0$有两个相等的实数根，$\therefore\Delta=(-2b)^2 - 4(a + c)(c - a)=0$. 整理，得$a^2 + b^2 = c^2.\therefore\triangle ABC$是直角三角形.