《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

4. 如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC上任意一点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F。求证：AE=EF。

答案： 4. 证明：在AB上截取BM=BE，连接ME．
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°．
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCG=45°．
∴∠AME=∠ECF=135°．
∵∠AEF=∠B=90°，
∴∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠MAE=90°．
∴∠CEF=∠MAE．
∵AB=BC．BM=BE．
∴AM=EC．
∴△AME≌△ECF(ASA)．
∴AE=EF.

5. 如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF=45°。
(1) 求证：EF=AE+CF。
(2) 当AE=1时，求EF的长。

答案： 5. 解：
(1)证明：延长BC至点H，使CH=AE，连接DH．
∵四边形ABCD是正方形．
∴AD=CD，∠A=∠DCH=90°．
∴△DAE≌△DCH(SAS)．
∴DE=DH，∠ADE=∠CDH．
∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠FDC=45°．
∴∠FDC+∠CDH=45°，即∠HDF=45°．
∴∠EDF=∠HDF=45°. 又
∵DF=DF，
∴△EDF≌△HDF(SAS)．
∴EF=FH．
∵FH=CH+CF=AE+CF．
∴EF=AE+CF.
(2)设EF=x，则FH=x．
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB=BC=3.
∵AE=1，
∴BE=2.CH=1．
∴CF=x-1．
∴BF=BC-CF=3-(x-1)=4-x. 在Rt△BEF中，
∵$BE^2+BF^2=EF^2，$
∴$2^2+(4-x)^2=x^2，$解得$x=\frac{5}{2}．$
∴$EF=\frac{5}{2}．$

【变式3】(2024·临汾洪洞县二模)如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别为对角线AC上的两点，且∠EBF=45°。若AE=2，CF=3，则EF的长为_______。

答案： 【变式$3】\sqrt{13}$