《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

9. (2024·太原市志达中学月考)如图，已知△ABC，∠B=60°，AB=6，BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开，则剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是(D)

答案： 9.D

10. (2024·晋中寿阳县期中)如图，在△ABC中，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D，增添下列条件仍然不能判定△ABC∽△CBD的是(D)

A.∠A=36°
B.BC=DC
C.$BC^{2}=BD\cdot AB$
D.∠B=∠ACB

答案： 10.D

11. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，则AD：AC的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案： 11.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

12. 如图，△ABC，△GCD，△FDE是三个全等的等腰三角形，点B，C，D，E在同一条直线上，且$AB=\sqrt{3}$，BC=1，BF交AC于点P.
(1)求证：△BFE∽△FDE.

(2)求CP的长.

答案： 12.解：
(1)证明：由题意可知，$BC = CD = DE = 1,EF = AB=\sqrt{3}.\therefore BE = 3$.$\therefore\frac{BE}{FE}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.\frac{FE}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.\therefore\frac{BE}{FE}=\frac{FE}{DE}$.又$\because\angle E=\angle E,\therefore$$\triangle BFE\sim\triangle FDE$.
(2)$\because\angle ACB=\angle E,\angle PBC=\angle FBE,\therefore\triangle BPC\sim$$\triangle BFE.\therefore\frac{BC}{BE}=\frac{CP}{EF}$，即$\frac{1}{3}=\frac{CP}{\sqrt{3}}.\therefore CP=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

13. (2024·太原晋源区期中)如图，在△ABC中，BA=BC=20 cm，AC=30 cm，点P从A点出发，沿AB以4 cm/s的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3 cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x s.
(1)x为何值时，PQ//BC?
(2)是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB?若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由.

答案： 13.解：
(1)由题意，得$AP = 4x\ cm,CQ = 3x\ cm,AQ=(30 - 3x)\ cm$.当$PQ// BC$时，$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC},\therefore\frac{4x}{20}=\frac{30 - 3x}{30}$，解得$x=\frac{10}{3}.\therefore$当$x=\frac{10}{3}$时，$PQ// BC$.
(2)存在某一时刻，使$\triangle APQ\sim\triangle CQB.\because BA = BC,\therefore\angle A=$$\angle C$.当$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB}$时，$\triangle APQ\sim\triangle CQB.\therefore\frac{4x}{3x}=\frac{30 - 3x}{20}$.整理，得$9x^{2}-$$10x = 0$.解得$x_{1}=0$（不符合题意，舍去），$x_{2}=\frac{10}{9}.\therefore$当$x=\frac{10}{9}$时，$AP =$$4x=\frac{40}{9}cm$.