《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

8. 如图，在$□ ABCD$中，下列条件：①$AC = BD$；②$\angle 1+\angle 3 = 90^{\circ}$；③$OB=\frac{1}{2}AC$；④$\angle 1=\angle 2$。其中能判定$□ ABCD$是矩形的有(D)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： 8.D

9. 如图，四边形$ABCD$的对角线$AC\perp BD$于点$O$，$E$，$F$，$G$，$H$分别为边$AB$，$BC$，$CD$和$AD$的中点，顺次连接$EF$，$FG$，$GH$和$HE$得到四边形$EFGH$。若$AC = 10$，$BD = 8$，则四边形$EFGH$的面积等于20。

答案： 9.20

10. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$D$是$BC$的中点，连接$AD$，过点$A$作$AN// BC$。
(1)尺规作图：过点$C$作直线$CE\perp AN$于点$E$（保留作图痕迹，不写作法）。
(2)求证：四边形$ADCE$是矩形。

答案：
10.解:
(1)

(2)证明:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.
∵AN//BC,
∴AD⊥AN.又
∵CE⊥AN,
∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.
∴四边形ADCE是矩形.

11. 如图，在$□ ABCD$中，$E$为边$BC$的中点，连接$AE$并延长交$DC$的延长线于点$F$，延长$EC$至点$G$，使$CG = CE$，连接$DG$，$DE$，$FG$。
(1)求证：$\triangle ABE\cong\triangle FCE$。

(2)若$AD = 2AB$，求证：四边形$DEFG$是矩形。

答案： 11.证明:
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD.
∴∠EAB=∠EFC.
∵E为BC的中点,
∴EC=EB.在△ABE和△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}∠EAB=∠EFC,\\ ∠BEA=∠CEF,\\EB=EC.\end{array}\right.$
∴△ABE≌△FCE(AAS).
(2)
∵△ABE≌△FCE,
∴AB=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC.
∴DC=CF.又
∵CE=CG,
∴四边形DEFG是平行四边形.
∵E为BC的中点，CE=CG，
∴BC=EG.又
∵AD=BC=EG=2AB,DF=CD+CF =2CD=2AB.
∴DF=EG.
∴平行四边形DEFG是矩形.

12. 【注重动手操作能力】(教材P28复习题T19变式)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形。方法如下：

请用上面图示的方法，解答下列问题：
(1)对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。

(2)对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形。

答案：
12.解:
(1)如图所示
　　　　　　　
(2)如图所示