《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

11. (2023·大庆)在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动。有一张矩形纸片 ABCD 如图所示，点 N 在边 AD 上，现将矩形折叠，折痕为 BN，点 A 对应的点记为点 M。若点 M 恰好落在边 DC 上，则图中与$\triangle NDM$一定相似的三角形是\triangle MCB。

答案： $11.\triangle MCB$

12. (2023·吕梁期末)如图，已知在等腰三角形 ABC 中，$AB=AC$，点 D，点 E 分别在边 BC 和边 AC 上，连接 AD，DE，且$∠B=∠ADE$。
(1)求证：$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CD}$。
(2)若$AB=AC=10$，$AD=8$，求 CE 的长。

答案： 12.解：
(1)证明：
∵$\angle B=\angle ADE，$又
∵$\angle ADC=\angle ADE+\angle CDE=\angle B+\angle BAD，$
∴$\angle BAD=\angle CDE. $
∵AB=AC，
∴$\angle B=\angle C. $
∴$\triangle ABD∽\triangle DCE. $
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CD}. (2)$
∵$\angle B=\angle C，$$\angle B=\angle ADE，$
∴$\angle C=\angle ADE. $
∵$\angle DAE=\angle CAD，$
∴$\triangle ADE∽\triangle ACD. $
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}，$即$\frac{8}{10}=\frac{AE}{8}，$解得AE=6.4.
∴CE=AC-AE=10-6.4=3.6.

13. (1)如图 1，在矩形 ABCD 中，$AD=7$，$CD=4$，E 是 AD 上的一点，连接 CE，BD，且$CE⊥BD$，则$\frac{CE}{BD}$的值为\frac{4}{7}。
(2)如图 2，在四边形 ABCD 中，$∠A=∠B=90^{\circ}$，E 为 AB 上一点，连接 DE，过点 C 作 DE 的垂线交 ED 的延长线于点 G，交 AD 的延长线于点 F。求证：$DE\cdot AB=CF\cdot AD$。

答案： 13.解：$(1)\frac{4}{7} (2)$证明：过点C作CH⊥AF，垂足为H，则四边形ABCH为矩形.
∴AB=CH.
∵$\angle H=\angle G=90^{\circ}，$$\angle CFH=\angle DFG. $
∴$\angle FCH=\angle FDG=\angle ADE. $又
∵$\angle A=\angle H=90^{\circ}，$
∴$\triangle DEA∽\triangle CFH. $
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{HC}． $
∴$\frac{DE}{CF}=\frac{AD}{AB}． $
∴DE·AB=CF·AD.

14. (2022·山西)如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的一点，点 F 在边 CD 的延长线上，且$BE=DF$，连接 EF 交边 AD 于点 G，过点 A 作$AN⊥EF$，垂足为 M，交边 CD 于点 N。若$BE=5$，$CN=8$，则线段 AN 的长为4\sqrt{34}。

答案： $14.4\sqrt{34}$