《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. 如图，要使$□ ABCD$成为矩形，需添加的条件可以是(C)

A.$AB = BC$
B.$AC\perp BD$
C.$\angle ABC = 90^{\circ}$
D.$\angle 1=\angle 2$

答案： 1.C

2. 如图，在$□ ABCD$中，$CM\perp AD$于点$M$，延长$DA$至点$N$，使$AN = DM$，连接$BN$。求证：四边形$BCMN$是矩形。

答案： 2.证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AD=BC.
∵AN=DM,
∴AN+AM=DM+AM,即NM=AD=BC.
∵MN//BC,
∴四边形BCMN是平行四边形.又
∵CM⊥AD,
∴∠CMN=90°.
∴平行四边形BCMN是矩形.

3. (2023·运城盐湖区期中)已知在$□ ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$。添加一个条件后，平行四边形$ABCD$为矩形，则这个条件可以是(C)

A.$AB = BC$
B.$AO = CO$
C.$AC = BD$
D.$AO\perp BO$

答案： 3.C

4. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是(C)

A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是不是$90^{\circ}$
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等

答案： 4.C

5. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$\triangle OAB$是等边三角形。求证：$□ ABCD$是矩形。

答案： 5.证明:
∵△OAB为等边三角形,
∴OA=OB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD,OA=OC=$\frac{1}{2}$AC.
∴BD=AC.
∴▱ABCD 是矩形.

6. 如图，直角$\angle AOB$内的任意一点$P$到这个角的两边的距离之和为$6$，则图中四边形$OCPB$的周长为12。

答案： 6.12

7. (教材P19习题T3变式)如图，$O$是线段$AB$上的一点，$OA = OC$，$OD$平分$\angle AOC$交$AC$于点$D$，$OF$平分$\angle COB$，$CF\perp OF$于点$F$。求证：四边形$CDOF$是矩形。

答案： 7.证明:
∵OD平分∠AOC,OF平分∠COB,
∴∠AOC=2∠COD,∠COB =2∠COF.
∵∠AOC+∠BOC=180°,
∴∠COD+∠COF=90°,即∠DOF=90°.
∵OA=OC,OD平分∠AOC,
∴OD⊥AC,
∴∠CDO=90°.
∵CF⊥OF,
∴∠CFO=90°.
∴四边形CDOF是矩形.