《2025年名校课堂九年级数学上册北师大版山西专版》

1. (2022·晋中期末)如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，添加下列条件，能使菱形 $ABCD$ 成为正方形的是 (A)


A.$AC = BD$
B.$AC\perp BD$
C.$AD = AB$
D.$AC$ 平分 $\angle DAB$

答案： 1.A

2. (2024·吕梁期末)已知在四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，如果添加一个条件，使得该四边形成为正方形，那么所添加的这个条件可以是 (C)

A.$\angle D = 90^{\circ}$
B.$AB = CD$
C.$AB = BC$
D.$AC = BD$

答案： 2.C

3. 下列说法正确的是 (B)

A.有一个角是直角的平行四边形是正方形
B.对角线互相垂直的矩形是正方形
C.有一组邻边相等的平行四边形是正方形
D.各边都相等的四边形是正方形

答案： 3.B

4. 如图，把一个矩形纸片对折两次，然后剪下一个角. 为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的锐角的度数应为45°.

答案： 4.45°

5. (2023·太原期中)我们知道，在图形从一般向特殊变化的过程中，它的组成元素及相关元素之间的关系也越来越特殊. 下面是小颖从“对角线”的角度对平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系的梳理，图中“▲”处应填写的内容是对角线互相垂直且相等.

答案： 5.对角线互相垂直且相等

6. (2023·太原期末)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$\angle BAD$ 和 $\angle ADC$ 的平分线交于边 $BC$ 上一点 $E$，$F$ 为矩形外一点，四边形 $AEDF$ 为平行四边形. 求证：四边形 $AEDF$ 是正方形.

答案： 6.证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD = ∠CDA = 90°.
∵AE,DE分别平分∠BAD,∠CDA，
∴$∠EAD = \frac{1}{2}∠BAD = 45°, ∠EDA = \frac{1}{2}∠CDA = 45°. $
∴∠EAD = ∠EDA,∠AED = 180°- ∠EAD - ∠EDA = 90°.
∴AE = DE.
∴平行四边形AEDF是正方形.

7. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 在对角线 $BD$ 上，且 $BE = DF$，$OE = OA$. 求证：四边形 $AECF$ 是正方形.

答案： 7.证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,OA = OC,OB = OD.
∵BE = DF，
∴OB - BE = OD - DF，即OE = OF.
∴四边形AECF为平行四边形. 又
∵AC⊥BD，
∴平行四边形AECF是菱形.
∵OE = OA = OF，
∴OE = OF = OA = OC，即EF = AC.
∴菱形AECF是正方形.