《2025年预习新初一》

例1 如图，点O在直线AB上，OC，OD在直线AB上方，且$OC⊥OD$.

(1)若OE在$∠COD$的内部，$∠AOC=24^{\circ },∠COE$与$∠AOC$互余，求$∠COE$的度数；$66^{\circ}$
(2)若OE平分$∠BOD$，且$∠DOE$与$∠BOC$互补，求$∠AOC$的度数.$30^{\circ}$

答案： 【解析】：
(1)
因为$\angle COE$与$\angle AOC$互余，根据互余的两个角的和为$90^{\circ}$，已知$\angle AOC = 24^{\circ}$，所以$\angle COE=90^{\circ}-\angle AOC$。
将$\angle AOC = 24^{\circ}$代入可得：$\angle COE = 90^{\circ}-24^{\circ}=66^{\circ}$。
(2)
设$\angle AOC=x$，因为点$O$在直线$AB$上，所以$\angle BOC = 180^{\circ}-\angle AOC=180^{\circ}-x$。
又因为$OC\perp OD$，所以$\angle COD = 90^{\circ}$，那么$\angle BOD=\angle BOC-\angle COD=(180 - x)-90^{\circ}=90^{\circ}-x$。
因为$OE$平分$\angle BOD$，所以$\angle DOE=\frac{1}{2}\angle BOD=\frac{1}{2}(90^{\circ}-x)=45^{\circ}-\frac{1}{2}x$。
已知$\angle DOE$与$\angle BOC$互补，根据互补的两个角的和为$180^{\circ}$，可得$\angle DOE+\angle BOC = 180^{\circ}$。
即$(45^{\circ}-\frac{1}{2}x)+(180^{\circ}-x)=180^{\circ}$。
去括号得：$45^{\circ}-\frac{1}{2}x + 180^{\circ}-x=180^{\circ}$。
移项得：$-\frac{1}{2}x-x=180^{\circ}-180^{\circ}-45^{\circ}$。
合并同类项得：$-\frac{3}{2}x=-45^{\circ}$。
系数化为$1$得：$x = 30^{\circ}$，即$\angle AOC = 30^{\circ}$。
【答案】：
(1)$66^{\circ}$；
(2)$30^{\circ}$

练1-1 已知$∠A= 30^{\circ }30'$,则$∠A$的余角为$59^{\circ }30'$,$∠A$的补角为$149^{\circ }30'$.

答案： $59^{\circ }30'$　$149^{\circ }30'$

练1-2 一个角的余角是$20^{\circ }$,则这个角的补角是(D)
A.$140^{\circ }$
B.$130^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$110^{\circ }$

答案： D