《2025年预习新初一》

例3 为鼓励居民节约用电,某地对居民用电收费标准作如下规定:如果每户每月用电不超过100度,那么每度按0.50元收费;如果超过100度不超过200度,那么超过的部分每度按0.65元收费;如果超过200度,那么超过的部分每度按0.75元收费.
(1)若居民甲在10月份用电80度,则他这个月应缴纳电费____40____元;若居民乙在10月份用电180度,则他这个月应缴纳电费____102____元.
(2)若居民丙在12月份缴纳电费310元,则居民丙这个月用电多少度?
460度

答案： 【解析】：
(1) 居民甲用电$80$度，因为$80\lt100$，每度按$0.50$元收费，所以甲这个月应缴纳电费$80×0.5 = 40$元。
居民乙用电$180$度，其中$100$度按每度$0.50$元收费，超过$100$度的部分为$180 - 100 = 80$度，这$80$度按每度$0.65$元收费。
则乙这个月应缴纳电费$100×0.5+(180 - 100)×0.65=50 + 52 = 102$元。
(2) 当用电$200$度时，其中$100$度按每度$0.50$元收费，$100$度到$200$度这$100$度按每度$0.65$元收费，则此时电费为$100×0.5+100×0.65 = 50+65 = 115$元。
因为居民丙缴纳电费$310$元，$310\gt115$，所以丙用电超过$200$度。
设居民丙这个月用电$x$度，超过$200$度的部分为$(x - 200)$度，前面$200$度的电费为$115$元，超过$200$度部分的电费为$(x - 200)×0.75$元，可列方程：
$115+(x - 200)×0.75 = 310$
$(x - 200)×0.75 = 310 - 115$
$(x - 200)×0.75 = 195$
$x - 200 = 195÷0.75$
$x - 200 = 260$
$x = 260 + 200$
$x = 460$
【答案】：
(1)$40$；$102$；
(2)$460$度

例4 某牛奶加工厂现有鲜奶8t,若在市场上直接销售鲜奶,则每吨可获取利润500元;若制成酸奶销售,则每吨可获取利润1200元;若制成奶片销售,则每吨可获取利润2000元. 该工厂的生产能力如下:若制成酸奶,则每天可加工3t;若制成奶片,则每天可加工1t. 受人员数量的限制,两种加工方式不可同时进行;受气温的限制,这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕. 为此,该工厂设计了两种可行方案:
方案一:尽可能多地制成奶片,其余直接销售鲜奶;
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成.
你认为选择哪种方案获利较多? 多获利多少?

答案： 【解析】：
### 方案一：
已知制成奶片每天可加工$1t$，且必须在$4$天内全部销售或加工完毕，所以$4$天可加工奶片的数量为：$1×4 = 4t$。
因为现有鲜奶$8t$，那么直接销售鲜奶的数量为：$8 - 4 = 4t$。
已知制成奶片每吨可获取利润$2000$元，直接销售鲜奶每吨可获取利润$500$元，则方案一的获利为：
$4×2000 + 4×500$
$=8000 + 2000$
$= 10000$（元）
### 方案二：
设$x$天加工奶片，$y$天加工酸奶，因为恰好$4$天完成，所以可得方程$x + y = 4$。
又因为制成奶片每天可加工$1t$，制成酸奶每天可加工$3t$，且鲜奶共$8t$，所以可得方程$1× x + 3× y = 8$。
联立方程组$\begin{cases}x + y = 4\\x + 3y = 8\end{cases}$，
用第二个方程$x + 3y = 8$减去第一个方程$x + y = 4$可得：
$(x + 3y)-(x + y)=8 - 4$
$x + 3y - x - y = 4$
$2y = 4$
解得$y = 2$。
把$y = 2$代入$x + y = 4$，可得$x + 2 = 4$，解得$x = 2$。
那么加工奶片的数量为：$1×2 = 2t$；
加工酸奶的数量为：$3×2 = 6t$。
已知制成奶片每吨可获取利润$2000$元，制成酸奶每吨可获取利润$1200$元，则方案二的获利为：
$2×2000 + 6×1200$
$= 4000 + 7200$
$= 11200$（元）
因为$11200＞10000$，所以方案二获利较多。
多获利的金额为：$11200 - 10000 = 1200$（元）
【答案】：方案二获利较多，多获利$1200$元。