《2025年预习新初一》

例 1 某车间有 90 名工人,每人平均每天加工大齿轮 20 个或小齿轮 15 个. 已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套,问怎样安排工人,能使生产出的大、小齿轮配套?每天能生产多少套?

答案： 【解析】：设安排$x$名工人加工大齿轮，则安排$(90 - x)$名工人加工小齿轮。
已知每人平均每天加工大齿轮$20$个或小齿轮$15$个，则每天加工大齿轮$20x$个，每天加工小齿轮$15×(90 - x)$个。
因为$2$个大齿轮与$3$个小齿轮配成一套，所以大、小齿轮数量满足$\frac{20x}{2}=\frac{15×(90 - x)}{3}$。
解方程$\frac{20x}{2}=\frac{15×(90 - x)}{3}$：
两边同时乘以$6$去分母得：$6×\frac{20x}{2}=6×\frac{15×(90 - x)}{3}$，
即$3×20x = 2×15×(90 - x)$，
$60x=30×(90 - x)$，
去括号得$60x = 2700-30x$，
移项得$60x + 30x=2700$，
合并同类项得$90x = 2700$，
解得$x = 30$。
那么加工小齿轮的工人数为$90 - 30 = 60$（名）。
每天生产大齿轮的数量为：$20×30 = 600$（个），
因为$2$个大齿轮配一套，所以每天生产的套数为$600÷2 = 300$（套）。
【答案】：安排$30$名工人加工大齿轮，$60$名工人加工小齿轮；每天能生产$300$套。

例 2 一项工程,甲队单独完成需 20 天,乙队单独完成需 30 天. 现甲队先单独做 5 天,接着两队合作,则甲、乙两队合作多少天才能把该工程完成?(列一元一次方程解决问题)

答案： 【解析】：设甲、乙两队合作$x$天才能把该工程完成。
把这项工程的工作量看作单位“$1$”，根据工作效率$=$工作量$÷$工作时间，可得甲队的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙队的工作效率为$\frac{1}{30}$。
甲队先单独做$5$天，根据工作量$=$工作效率$×$工作时间，甲队先做的工作量为$\frac{1}{20}×5$。
两队合作$x$天，两队合作的工作量为$(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x$。
根据甲队先做的工作量加上两队合作的工作量等于总工作量“$1$”，可列方程：
$\frac{1}{20}×5+(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x = 1$
$\frac{1}{4}+(\frac{3}{60}+\frac{2}{60})x = 1$
$\frac{1}{4}+\frac{5}{60}x = 1$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{12}x = 1$
方程两边同时减去$\frac{1}{4}$：$\frac{1}{12}x = 1 - \frac{1}{4}$
$\frac{1}{12}x = \frac{3}{4}$
方程两边同时乘以$12$：$x=\frac{3}{4}×12$
$x = 9$
【答案】：$9$