《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

1. 下列计算正确的是(C)
A.$\sqrt{3}+\sqrt{2}= \sqrt{5}$
B.$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}= 1$
C.$(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})= -1$
D.$2\sqrt{6}+7\sqrt{6}= 54$

答案： A.$\sqrt{3}$与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B.$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，故B错误；
C.$(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})=2^{2}-(\sqrt{5})^{2}=4 - 5=-1$，故C正确；
D.$2\sqrt{6}+7\sqrt{6}=9\sqrt{6}$，故D错误。
C

2. 现将一个面积为 $300\mathrm{cm}^2$ 的正方形的一组对边缩短 $8\sqrt{3}\mathrm{cm}$,就成为一个长方形,这个长方形的面积为(C)
A.$80\mathrm{cm}^2$
B.$72\mathrm{cm}^2$
C.$60\mathrm{cm}^2$
D.$30\mathrm{cm}^2$

答案： 解：设正方形的边长为$a$，则$a^2 = 300$，解得$a = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$。
缩短后长方形的长为$10\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$，宽为$10\sqrt{3}$。
长方形面积为$2\sqrt{3} × 10\sqrt{3} = 20 × 3 = 60$。
答案：C

3. 下列各数中,与 $3-\sqrt{5}$ 的和为有理数的是(B)
A.$2\sqrt{5}$
B.$5+\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}$
D.$5-\sqrt{5}$

答案： 解：分别计算各选项与$3 - \sqrt{5}$的和：
- A选项：$(3 - \sqrt{5}) + 2\sqrt{5} = 3 + \sqrt{5}$，为无理数；
- B选项：$(3 - \sqrt{5}) + (5 + \sqrt{5}) = 8$，为有理数；
- C选项：$(3 - \sqrt{5}) + \sqrt{2}$，为无理数；
- D选项：$(3 - \sqrt{5}) + (5 - \sqrt{5}) = 8 - 2\sqrt{5}$，为无理数。
结论：B

4. $\sqrt{18}÷3-\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{2}}$ 的结果应在(B)
A.$-1$ 和 $0$ 之间
B.$0$ 和 $1$ 之间
C.$1$ 和 $2$ 之间
D.$2$ 和 $3$ 之间

答案： $\begin{aligned}&\sqrt{18}÷3 - \sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{2}}\\=&3\sqrt{2}÷3 - \sqrt{2×\frac{1}{2}}\\=&\sqrt{2} - 1\\\end{aligned}$
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$\sqrt{2}-1\approx0.414$，结果在$0$和$1$之间。
B

5. 计算：$(\sqrt{27}-\sqrt{12})+\sqrt{3}=$$2\sqrt{3}$。

答案： 解：$(\sqrt{27} - \sqrt{12}) + \sqrt{3}$
$= (3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) + \sqrt{3}$
$= \sqrt{3} + \sqrt{3}$
$= 2\sqrt{3}$
$2\sqrt{3}$

6. $-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ 的倒数是$-\sqrt{3}-1$。

答案： 解：设$-\frac{\sqrt{3}-1}{2}$的倒数为$x$，则$x × (-\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = 1$，
$x = 1 ÷ (-\frac{\sqrt{3}-1}{2}) = 1 × (-\frac{2}{\sqrt{3}-1}) = -\frac{2}{\sqrt{3}-1}$
分子分母同乘$\sqrt{3}+1$得：
$x = -\frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = -\frac{2(\sqrt{3}+1)}{3 - 1} = -\frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = -(\sqrt{3}+1) = -\sqrt{3}-1$
$-\sqrt{3}-1$

7. 比较大小：$\sqrt{5}-3$$＜$$\frac{\sqrt{5}-2}{2}$。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

答案： $ ＜ $ 解析：$ \because \sqrt { 5 } - 3 = \frac { 2 \sqrt { 5 } - 6 } { 2 } $，
$ \frac { 2 \sqrt { 5 } - 6 } { 2 } $和$ \frac { \sqrt { 5 } - 2 } { 2 } $的分母都是 2，
$ \therefore $只需比较分子$ 2 \sqrt { 5 } - 6 $和$ \sqrt { 5 } - 2 $的大小即可.
$ \because ( 2 \sqrt { 5 } - 6 ) - ( \sqrt { 5 } - 2 ) = \sqrt { 5 } - 4 = \sqrt { 5 } - \sqrt { 16 } ＜ 0 $，
$ \therefore \sqrt { 5 } - 3 ＜ \frac { \sqrt { 5 } - 2 } { 2 } $.

8. 计算：(1)$2\sqrt{12}-6\sqrt{\frac{1}{3}}+3\sqrt{48}=$$14\sqrt{3}$；
(2)$2\sqrt{\frac{1}{3}}×3\sqrt{18}÷\sqrt{\frac{5}{6}}=$$\frac{36\sqrt{5}}{5}$；
(3)$(\sqrt{5}-\sqrt{2})×(\sqrt{5}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-1)^2=$$7-2\sqrt{3}$。

答案：
(1)解：原式$=2×2\sqrt{3}-6×\frac{\sqrt{3}}{3}+3×4\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+12\sqrt{3}$
$=(4-2+12)\sqrt{3}$
$=14\sqrt{3}$
(2)解：原式$=2×\frac{\sqrt{3}}{3}×3×3\sqrt{2}÷\frac{\sqrt{30}}{6}$
$=2×\frac{\sqrt{3}}{3}×3×3\sqrt{2}×\frac{6}{\sqrt{30}}$
$=2×3\sqrt{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}$
$=36\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}$
$=36\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}×\sqrt{15}}$
$=36×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{15}}$
$=36×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$
$=36×\frac{1}{\sqrt{5}}$
$=\frac{36\sqrt{5}}{5}$
(3)解：原式$=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2-2\sqrt{3}+1^2$
$=5-2+3-2\sqrt{3}+1$
$=(5-2+3+1)-2\sqrt{3}$
$=7-2\sqrt{3}$

9. 已知长方形的长为 $a$,宽为 $b$,且 $a= \sqrt{48}$,$b= \sqrt{12}$。
(1)这个长方形的周长为$12\sqrt{3}$；
(2)若一个正方形的面积和这个长方形的面积相等,则这个正方形的边长为$2\sqrt{6}$。

答案：
(1)
解：长方形周长 = 2(a + b)
a = √48 = 4√3，b = √12 = 2√3
周长 = 2(4√3 + 2√3) = 2×6√3 = 12√3
(2)
解：长方形面积 = a·b = 4√3×2√3 = 8×3 = 24
正方形边长 = √24 = 2√6
答案：
(1) $12\sqrt{3}$；
(2) $2\sqrt{6}$