《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

6. 如图,矩形 $ABCD$ 中,$CD = 3$,$BC = 5$,点 $E$ 为射线 $AD$ 上的一个动点,$\triangle ABE$ 与 $\triangle FBE$ 关于直线 $BE$ 对称,当点 $E$,$F$,$C$ 三点共线时,$AE$ 的长为______1 或 9。

答案： 解：设 $ AE = x $。
情况一：点 $ E $ 在 $ AD $ 上（$ 0 ＜ x ＜ 5 $）
由对称性质得 $ BF = AB = 3 $，$ EF = AE = x $，$ \angle BFE = \angle A = 90^\circ $，则 $ \angle BFC = 90^\circ $。
在 $ \text{Rt}\triangle BCF $ 中，$ CF = \sqrt{BC^2 - BF^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 $。
$ DE = AD - AE = 5 - x $，$ CE = CF + EF = 4 + x $。
在 $ \text{Rt}\triangle CDE $ 中，$ CE^2 = DE^2 + CD^2 $，即 $ (4 + x)^2 = (5 - x)^2 + 3^2 $，
解得 $ x = 1 $。
情况二：点 $ E $ 在 $ AD $ 延长线上（$ x ＞ 5 $）
同理 $ BF = 3 $，$ EF = x $，$ \angle BFC = 90^\circ $，$ CF = 4 $。
$ DE = x - 5 $，$ CE = EF - CF = x - 4 $。
在 $ \text{Rt}\triangle CDE $ 中，$ (x - 4)^2 = (x - 5)^2 + 3^2 $，
解得 $ x = 9 $。
综上，$ AE $ 的长为 $ 1 $ 或 $ 9 $。
答案：$ 1 $ 或 $ 9 $

7. 如图,已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$,点 $E$ 是边 $AB$ 的中点,点 $P$ 是对角线 $BD$ 上的动点,则 $AP + PE$ 的最小值是______。

$2\sqrt{5}$

答案： 连接CE交BD于点P，连接AC。
因为四边形ABCD是正方形，所以BD垂直平分AC，即点A与点C关于BD对称，故AP=CP。
所以AP+PE=CP+PE=CE。
因为正方形边长为4，E是AB中点，所以BE=2，BC=4。
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{BC^2 + BE^2}=\sqrt{4^2 + 2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
则AP+PE的最小值是$2\sqrt{5}$。
$2\sqrt{5}$

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 5$,$BC = 12$,$E$ 是边 $AD$ 上的一个动点,将 $\triangle ABE$ 沿 $BE$ 对折得到 $\triangle BEF$,则线段 $DF$ 长的最小值为______。

8

答案： 解：连接 BD，DF。
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠BCD = 90°，CD = AB = 5，BC = 12。
在 Rt△BCD 中，由勾股定理得：
BD = √(BC² + CD²) = √(12² + 5²) = 13。
由折叠性质得：BF = AB = 5。
∵ 点 F 在以 B 为圆心，BF 为半径的圆上运动，
∴ 当点 F 在线段 BD 上时，DF 取得最小值，最小值为 BD - BF = 13 - 5 = 8。
故线段 DF 长的最小值为 8。

9. 如图,矩形 $ABCD$ 中,$AB = 6$,$AD = 8$,$E$ 是 $AD$ 边上的中点,$P$ 是 $AB$ 边上的一动点,$M$,$N$ 分别是 $PE$,$PC$ 的中点,则线段 $MN$ 的长为______。

答案： 连接CE。
在矩形ABCD中，AD=8，E是AD边上的中点，所以AE=DE=4。
CD=AB=6，∠D=90°，在Rt△CDE中，CE=$\sqrt{DE^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
因为M，N分别是PE，PC的中点，所以MN是△PEC的中位线，MN=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{13} = \sqrt{13}$。
$\sqrt{13}$

10. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,若 $E$,$F$ 是 $AC$ 上的两个动点,分别从 $A$,$C$ 两点以相同的速度向 $C$,$A$ 运动,速度为 $2cm/s$。

(1)当 $E$ 与 $F$ 不重合时,四边形 $DEBF$ 是平行四边形吗？说明理由。
(2)若 $BD = 24cm$,$AC = 32cm$,当运动时间 $t$ 为何值时,以 $D$,$E$,$B$,$F$ 为顶点的四边形是矩形？说明理由。

答案：
(1) 四边形 $DEBF$ 是平行四边形。
理由：在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，则 $OA=OC$，$OB=OD$。
$E$，$F$ 分别从 $A$，$C$ 以相同速度运动，设运动时间为 $t$，则 $AE=CF=2t$。
$\because OE=OA-AE$，$OF=OC-CF$，且 $OA=OC$，$AE=CF$，
$\therefore OE=OF$。
又 $\because OB=OD$，
$\therefore$ 四边形 $DEBF$ 是平行四边形。
(2) 当 $t=2\,\text{s}$ 或 $t=14\,\text{s}$ 时，四边形 $DEBF$ 是矩形。
理由：若四边形 $DEBF$ 是矩形，则 $EF=BD=24\,\text{cm}$。
$\because AC=32\,\text{cm}$，$\therefore OA=OC=16\,\text{cm}$。
分两种情况：
① 当 $E$ 在 $OA$ 上，$F$ 在 $OC$ 上时，$EF=AC-AE-CF=32-4t=24$，
解得 $t=2$；
② 当 $E$ 在 $OC$ 上，$F$ 在 $OA$ 上时，$EF=AE+CF-AC=4t-32=24$，
解得 $t=14$。
综上，$t=2\,\text{s}$ 或 $t=14\,\text{s}$。