《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

1. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,点 $P$ 是边 $CD$ 上的动点,点 $Q$ 是边 $BC$ 上的定点,连接 $AP$,$PQ$,$E$,$F$ 分别是 $AP$,$PQ$ 的中点,连接 $EF$,点 $P$ 在由 $C$ 到 $D$ 的运动过程中,线段 $EF$ 的长度(A)
A.保持不变
B.逐渐变小
C.先变大,再变小
D.逐渐变大

答案： 解：连接AQ。
∵E，F分别是AP，PQ的中点，
∴EF是△APQ的中位线。
∴EF = $\frac{1}{2}$AQ。
∵点Q是定点，
∴AQ的长度不变。
∴EF的长度保持不变。
答案：A

2. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AD = 2$,$\angle ABC = 120^{\circ}$,$E$ 是 $BC$ 的中点,$P$ 为对角线 $AC$ 上的一个动点,则 $PE + PB$ 的最小值为(A)
A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$1$
D.$5$

答案： 解：连接BD，DE，DE交AC于点P，连接PB。
∵菱形ABCD中，AC是对角线，
∴点B与点D关于AC对称，即PB=PD。
∴PE+PB=PE+PD=DE，此时PE+PB最小。
∵四边形ABCD是菱形，AD=2，∠ABC=120°，
∴BC=CD=AD=2，∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形。
∵E是BC的中点，
∴DE⊥BC，CE=1/2BC=1。
在Rt△CDE中，DE=√(CD²-CE²)=√(2²-1²)=√3。
故PE+PB的最小值为√3。
答案：A

3. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $5$,$E$ 是 $AD$ 边上一点,$AE = 3$,动点 $P$ 由点 $D$ 向点 $C$ 运动,速度为每秒 $2$ 个单位长度,$EP$ 的垂直平分线交 $AB$ 于 $M$,交 $CD$ 于 $N$。设运动时间为 $t$ 秒,当 $PM // BC$ 时,$t$ 的值为( B )
A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$\sqrt{3}$
D.$\frac{3}{2}$

答案： 解：由题意得，$PD=2t$，$PC=5-2t$，$E(3,5)$，$P(5,5-2t)$。
因为$PM// BC$，$BC\perp AB$，所以$PM\perp AB$，则$M$与$P$横坐标相同，$M(5,m)$（$m$为$M$点纵坐标）。
$EP$中点坐标为$\left(\frac{3+5}{2},\frac{5+5-2t}{2}\right)=(4,5-t)$。
$EP$斜率$k_{EP}=\frac{(5-2t)-5}{5-3}=-t$，则$MN$斜率$k_{MN}=\frac{1}{t}$。
$MN$方程：$y-(5-t)=\frac{1}{t}(x-4)$。
将$M(5,m)$代入得：$m-(5-t)=\frac{1}{t}(5-4)$，即$m=5-t+\frac{1}{t}$。
又$ME=MP$，$ME^2=(5-3)^2+(5-t+\frac{1}{t}-5)^2=4+( -t+\frac{1}{t})^2$，$MP^2=(5-2t)-(5-t+\frac{1}{t})= -t-\frac{1}{t}$（此处应为$MP$长度平方，修正为$MP^2=(5-2t - m)^2=(5-2t - (5-t+\frac{1}{t}))^2=(-t-\frac{1}{t})^2$）。
由$ME^2=MP^2$得：$4+(t-\frac{1}{t})^2=(t+\frac{1}{t})^2$，化简得$4=4$，解得$t=1$（舍去）或$t=2$。
综上，$t=2$。
答案：B

4. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$\angle A = 125^{\circ}$,$P$ 是 $BC$ 上一动点(与 $B$,$C$ 点不重合),$PE \perp AB$ 于 $E$,则 $\angle CPE$ 等于(B)

A.$155^{\circ}$
B.$145^{\circ}$
C.$135^{\circ}$
D.$125^{\circ}$

答案： 解：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$。
∵ $PE \perp AB$，
∴ $\angle BEP = 90^\circ$，
∴ $\angle BPE = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$。
∵ $\angle CPE + \angle BPE = 180^\circ$（平角定义），
∴ $\angle CPE = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ$。
答案：B

5. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle A = 90^{\circ}$,$P$ 为边 $BC$ 上一动点,$PE \perp AB$ 于 $E$,$PF \perp AC$ 于 $F$,动点 $P$ 从点 $B$ 出发,沿着 $BC$ 匀速向终点 $C$ 运动,则线段 $EF$ 的值的大小变化情况是(C)
A.一直增大
B.不变
C.先减小后增大
D.先增大后减小

答案： 解：连接AP。
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AEPF为矩形，
∴EF=AP。
在Rt△ABC中，AP为斜边BC上的高时最短，
∴P从B到C运动过程中，AP先减小后增大，
即EF先减小后增大。
答案：C