《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

7. 如图,点 $E$ 是菱形 $ABCD$ 的边 $BC$ 上一点,且 $\angle DAE = \angle B = 70^{\circ}$,则 $\angle CDE= $15°。

答案： 解：
∵四边形 $ABCD$ 是菱形，
∴ $AD // BC$，$AB = AD = CD = BC$，$\angle B = \angle ADC = 70^\circ$。
∵ $AD // BC$，
∴ $\angle AEB = \angle DAE = 70^\circ$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle ABE$中，$\angle BAE = 180^\circ - \angle B - \angle AEB = 180^\circ - 70^\circ - 70^\circ = 40^\circ$。
∵ $\angle DAB = 180^\circ - \angle B = 110^\circ$（菱形邻角互补），
∴ $\angle DAE = 70^\circ$，
∴ $\angle BAE = \angle DAB - \angle DAE = 110^\circ - 70^\circ = 40^\circ$（验证一致）。
∵ $\angle DAE = 70^\circ$，$AD // BC$，
∴ $\angle AED = \angle DAE = 70^\circ$（错误，应为$\angle AEB = 70^\circ$，修正：$\angle AED$需重新计算）。
（正确步骤）
∵ $AD = AB$，$\angle BAE = 40^\circ$，
∴ $\angle DAE = 70^\circ$，则 $AE = AD$（等角对等边，$\angle AED = \angle ADE$）。
在$\triangle ADE$中，$\angle ADE = (180^\circ - \angle DAE) ÷ 2 = (180^\circ - 70^\circ) ÷ 2 = 55^\circ$。
∵ $\angle ADC = 70^\circ$，
∴ $\angle CDE = \angle ADC - \angle ADE = 70^\circ - 55^\circ = 15^\circ$。
$15^\circ$

8. 如图,在菱形 $ABCD$ 中,$AC = 6$,$BD = 8$,$AH$ 为菱形的高,则 $AH= $$\frac{24}{5}$。

答案： 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$AC=6$，$BD=8$，
∴ 菱形面积 $S = \frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
设菱形对角线交点为 $O$，则 $AO = \frac{1}{2}AC = 3$，$BO = \frac{1}{2}BD = 4$，且 $AC \perp BD$。
在 $Rt\triangle AOB$ 中，$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
又
∵ $AH$ 是菱形的高，$S = AB × AH$，
∴ $24 = 5 × AH$，解得 $AH = \frac{24}{5}$。
$\frac{24}{5}$

9. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,$\angle BAD$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$,$\angle ABC$ 的平分线交 $AD$ 于点 $F$,若 $BF = 12$,$AB = 10$,则 $AE$ 的长为______16。

答案： 解：设AE与BF交于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠BAD+∠ABC=180°。
∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，
∴∠BAE=∠DAE=∠AEB，∠ABF=∠CBF=∠AFB，
∴AB=BE=10，AB=AF=10，
∴AF=BE，四边形ABEF是平行四边形，
又
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形。
∴AE⊥BF，AE=2AO，BF=2BO=12，
∴BO=6。
在Rt△AOB中，AO=√(AB²-BO²)=√(10²-6²)=8，
∴AE=2AO=16。
16

10. 如图,矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$,$CE// BD$,$DE// AC$。若 $AD = 2\sqrt{3}$,$AB = 2$,则四边形 $OCED$ 的面积为______$2\sqrt{3}$。

答案： 解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $AB=CD=2$，$AD=BC=2\sqrt{3}$，$AC=BD$，$O$ 为 $AC$、$BD$ 中点，
∴ $S_{\triangle OCD} = \frac{1}{4}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{4} × AB × AD = \frac{1}{4} × 2 × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
∵ $CE // BD$，$DE // AC$，
∴ 四边形 $OCED$ 是平行四边形，
∴ $S_{OCED} = 2S_{\triangle OCD} = 2\sqrt{3}$。
答案：$2\sqrt{3}$

11. 如图,四边形 $ABCD$ 是平行四边形,且对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $O$,$BD = 2AB$,$AE// BD$,$OE// AB$。求证：四边形 $ABOE$ 是菱形。

答案： 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴对角线$AC$、$BD$互相平分，即$BO = \frac{1}{2}BD$。
∵$BD = 2AB$，
∴$BO = AB$。
∵$AE// BD$，$OE// AB$，
∴四边形$ABOE$是平行四边形。
∵平行四边形$ABOE$中，$BO = AB$，
∴四边形$ABOE$是菱形。

12. 如图,四边形 $ABCD$ 为平行四边形,对角线 $AC$,$BD$ 交于点 $O$,$E$,$F$ 分别在 $OB$,$OD$ 上,$AC = 4$,$BD = 6$。
(1) 当 $BE = DF = 1$ 时,判断四边形 $AECF$ 的形状并证明；
(2) 当四边形 $AECF$ 为菱形时,求平行四边形 $ABCD$ 的周长。

答案：
(1) 四边形 $AECF$ 是平行四边形。
证明：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $OA = OC = \frac{1}{2}AC = 2$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD = 3$。
∵ $BE = DF = 1$，
∴ $OE = OB - BE = 3 - 1 = 2$，$OF = OD - DF = 3 - 1 = 2$。
∴ $OE = OF$。
又
∵ $OA = OC$，
∴ 四边形 $AECF$ 是平行四边形。
(2)
∵ 四边形 $AECF$ 为菱形，
∴ $AC \perp EF$，即 $AC \perp BD$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，且 $AC \perp BD$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是菱形。
在 $Rt\triangle AOB$ 中，$OA = 2$，$OB = 3$，
∴ $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$。
∴ 平行四边形 $ABCD$ 的周长为 $4AB = 4\sqrt{13}$。
答案：
(1) 平行四边形；
(2) $4\sqrt{13}$。