《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

13. 如图,在平行四边形 $ABCD$ 中,$AB = 6\mathrm{cm}$,$AD = 10\mathrm{cm}$,点 $P$ 在边 $AD$ 上,以每秒 $1\mathrm{cm}$ 的速度从点 $A$ 向点 $D$ 运动,点 $Q$ 在边 $CB$ 上,以每秒 $2\mathrm{cm}$ 的速度从点 $C$ 出发,在 $C$、$B$ 之间做往返运动。两个动点同时出发,当点 $P$ 到达点 $D$ 时两点同时停止运动。设运动时间为 $t$ 秒 $(t＞0)$。
(1) 用含 $t$ 的代数式表示线段 $AP$ 及 $BQ$ 的长度。
(2) 在点 $P$,$Q$ 的运动过程中,$t$ 为何值时,四边形 $APQB$ 为平行四边形？
(3) 在点 $P$,$Q$ 的运动过程中,是否存在 $t$ 的值,使四边形 $APQB$ 为菱形？若存在,直接写出 $t$ 的值；若不存在,请说明理由。

答案：
(1) 解：$AP = t \, \text{cm}$。
$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore BC = AD = 10 \, \text{cm}$。
当$0 ＜ t \leq 5$时，$CQ = 2t \, \text{cm}$，$BQ = BC - CQ = (10 - 2t) \, \text{cm}$；
当$5 ＜ t \leq 10$时，$Q$从$B$向$C$运动，$BQ = 2t - 10 \, \text{cm}$。
综上，$BQ = |2t - 10| \, \text{cm}$。
(2) 解：$\because$ 四边形$ABCD$为平行四边形，$\therefore AP // BQ$。
当$AP = BQ$时，四边形$APQB$是平行四边形。
$\therefore t = 10 - 2t$或$t = 2t - 10$，
解得$t = \frac{10}{3}$或$t = 10$。
(3) 解：不存在。
理由：若四边形$APQB$为菱形，则$AP = AB = 6 \, \text{cm}$，
$\therefore t = 6$，此时$Q$运动路程为$2 × 6 = 12 \, \text{cm}$，
$\because BC = 10 \, \text{cm}$，$\therefore BQ = 12 - 10 = 2 \, \text{cm} \neq 6 \, \text{cm}$，
$\therefore$ 不存在。