《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

15. 设 $m = \sqrt { a + 2 \sqrt { a - 1 } } + \sqrt { a - 2 \sqrt { a - 1 } } ( 1 \leq a \leq 2 )$,求 $m ^ { 10 } + m ^ { 9 } + m ^ { 8 } + … + m - 47$ 的值。

答案： 解：
∵$1 \leq a \leq 2$，
∴$0 \leq a - 1 \leq 1$。
$m = \sqrt{(a - 1) + 2\sqrt{a - 1} + 1} + \sqrt{(a - 1) - 2\sqrt{a - 1} + 1}$
$= \sqrt{(\sqrt{a - 1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a - 1} - 1)^2}$
$= \sqrt{a - 1} + 1 + 1 - \sqrt{a - 1}$
$= 2$
$m^{10} + m^9 + m^8 + \cdots + m - 47$
$= (m^{10} + m^9 + \cdots + m + 1) - 48$
$= \frac{m^{11} - 1}{m - 1} - 48$
$= \frac{2^{11} - 1}{2 - 1} - 48$
$= 2048 - 1 - 48$
$= 1999$
答案：1999