《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

1. 下列二次根式是最简二次根式的是(C)
A.$\sqrt{0.3}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{14}$
D.$\sqrt{\frac{2}{3}}$

答案： 解：最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式。
A. $\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{14}$，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式；
D. $\sqrt{\frac{2}{3}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。
答案：C

2. 若一个长方体的长为 $2\sqrt{6}\mathrm{cm}$,宽为 $\sqrt{3}\mathrm{cm}$,高为 $\sqrt{8}\mathrm{cm}$,则它的体积为(D)
A.$\sqrt{21}\mathrm{cm}^3$
B.$\sqrt{24}\mathrm{cm}^3$
C.$21\mathrm{cm}^3$
D.$24\mathrm{cm}^3$

答案： 解：长方体体积 = 长×宽×高
= $2\sqrt{6} × \sqrt{3} × \sqrt{8}$
= $2\sqrt{6 × 3 × 8}$
= $2\sqrt{144}$
= $2 × 12$
= $24\,\mathrm{cm}^3$
答案：D

3. 把 $\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{12ab}}$ 化为最简二次根式得(D)
A.$4b$
B.$2\sqrt{b}$
C.$\frac{1}{2}\sqrt{b}$
D.$\frac{\sqrt{b}}{2b}$

答案： 解：$\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{12ab}} = \sqrt{\frac{3a}{12ab}} = \sqrt{\frac{1}{4b}} = \frac{1}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{2b}$
D

4. 设 $\sqrt{2}= a,\sqrt{10}= b$,用含 $a,b$ 的式子表示 $\sqrt{20}$,下列表示正确的是(D)
A.$2a$
B.$2b$
C.$a + b$
D.$ab$

答案： 解：$\sqrt{20} = \sqrt{2 × 10} = \sqrt{2} × \sqrt{10}$
因为$\sqrt{2} = a$，$\sqrt{10} = b$，所以$\sqrt{20} = ab$
答案：D

5. 若 $(m+\sqrt{2})^2$ 与 $\sqrt{n + 1}$ 互为相反数,则 $\frac{n}{m}$ 的值是(A)
A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.$-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$2\sqrt{2}$

答案： 解：因为$(m + \sqrt{2})^2$与$\sqrt{n + 1}$互为相反数，所以$(m + \sqrt{2})^2 + \sqrt{n + 1} = 0$。
由于$(m + \sqrt{2})^2 \geq 0$，$\sqrt{n + 1} \geq 0$，所以$m + \sqrt{2} = 0$，$n + 1 = 0$。
解得$m = -\sqrt{2}$，$n = -1$。
则$\frac{n}{m} = \frac{-1}{-\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：A

6. 下列各式：① $\sqrt{\frac{2}{5}}$；② $\sqrt{2n + 1}$；③ $\frac{\sqrt{2b}}{4}$；④ $\sqrt{0.1y}$ 是最简二次根式的是②③.(填序号)

答案： 解：①$\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$，不是最简二次根式；
②$\sqrt{2n + 1}$，是最简二次根式；
③$\frac{\sqrt{2b}}{4}$，是最简二次根式；
④$\sqrt{0.1y}=\sqrt{\frac{y}{10}}=\frac{\sqrt{10y}}{10}$，不是最简二次根式。
故答案为：②③

7. 化成最简二次根式：$\sqrt{1\frac{1}{2}}=$$\frac{\sqrt{6}}{2}$.

答案： $\sqrt{1\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

8. 长方形的面积为 $4\sqrt{3}$,长为 $\sqrt{15}$,则这个长方形的宽为$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

答案： 解：长方形的宽 = 面积 ÷ 长，即宽为 $4\sqrt{3} ÷ \sqrt{15}$。
$\begin{aligned}4\sqrt{3} ÷ \sqrt{15}&=4\sqrt{3} × \frac{1}{\sqrt{15}}\\&=4\sqrt{\frac{3}{15}}\\&=4\sqrt{\frac{1}{5}}\\&=4×\frac{\sqrt{5}}{5}\\&=\frac{4\sqrt{5}}{5}\end{aligned}$
$\frac{4\sqrt{5}}{5}$

9. 已知 $\sqrt{2}×\sqrt{12}= \sqrt{2}× a\sqrt{3}= a\sqrt{b}$,则 $a= $2,$b= $6.

答案： 解：$\sqrt{2}×\sqrt{12}=\sqrt{2}×2\sqrt{3}=2\sqrt{6}$，则$a=2$，$b=6$。
2;6

10. 若 $\sqrt{28n}$ 是整数,则正整数 $n$ 的最小值为7.

答案： 解：$\sqrt{28n} = \sqrt{4 × 7n} = 2\sqrt{7n}$，要使$\sqrt{28n}$是整数，则$\sqrt{7n}$必须是整数，即$7n$是完全平方数。因为$7$是质数，所以正整数$n$的最小值为$7$。
7

11. 对于任意两个不相等的实数 $a,b$,定义一种新运算“$\oplus$”如下：$a\oplus b= \frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a - b}}$,如：$3\oplus 2= \frac{\sqrt{3 + 2}}{\sqrt{3 - 2}}= \sqrt{5}$.那么 $12\oplus 4= $______$\sqrt{2}$.

答案： 解：$\because a\oplus b=\frac{\sqrt{a + b}}{\sqrt{a - b}}$，
$\therefore 12\oplus 4=\frac{\sqrt{12 + 4}}{\sqrt{12 - 4}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{8}}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}$