《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

13. 如图,把一块直角三角形$ABC$(其中$∠ACB= 90^{\circ}$)土地划出一个$\triangle ADC$后,测得$CD= 3$米,$AD= 4$米,$BC= 12$米,$AB= 13$米。

(1)根据条件,求$AC$的长度；
(2)判断$\triangle ACD$的形状,并说明理由；
(3)图中阴影部分土地的面积是______平方米。
(1) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$BC=12$米，$AB=13$米，由勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$AC^{2}+12^{2}=13^{2}$，$AC^{2}=13^{2}-12^{2}=169 - 144=25$，所以$AC=5$米。
(2)$\triangle ACD$是直角三角形。理由：在$\triangle ACD$中，$AC=5$米，$CD=3$米，$AD=4$米，因为$AD^{2}+CD^{2}=4^{2}+3^{2}=16 + 9=25$，$AC^{2}=5^{2}=25$，所以$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，故$\triangle ACD$是直角三角形，且$\angle ADC=90^{\circ}$。
(3) 24

答案：
(1) 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$BC=12$米，$AB=13$米，由勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，即$AC^{2}+12^{2}=13^{2}$，$AC^{2}=13^{2}-12^{2}=169 - 144=25$，所以$AC=5$米。
(2)$\triangle ACD$是直角三角形。理由：在$\triangle ACD$中，$AC=5$米，$CD=3$米，$AD=4$米，因为$AD^{2}+CD^{2}=4^{2}+3^{2}=16 + 9=25$，$AC^{2}=5^{2}=25$，所以$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，故$\triangle ACD$是直角三角形，且$\angle ADC=90^{\circ}$。
(3) 24

14. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠B= 90^{\circ}$,$AB= BC= 2$,$CD= 3$,$DA= 1$。求四边形$ABCD$的面积。

答案： 解：连接AC。
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC²=AB²+BC²=2²+2²=8，
∴AC=2√2，
S△ABC=1/2×AB×BC=1/2×2×2=2。
在△ADC中，AD=1，CD=3，AC=2√2，
∵AD²+AC²=1²+(2√2)²=1+8=9=3²=CD²，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
∴S△ADC=1/2×AD×AC=1/2×1×2√2=√2。
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC=2+√2。
答：四边形ABCD的面积为2+√2。