《2025年乐享暑假生活八年级数学人教版》

8. 已知一组数据 1,2,3,n,它们的平均数是 2,则$n= $2,这组数据的方差为$\frac{1}{2}$.

答案： 解：因为数据1,2,3,n的平均数是2，所以$\frac{1 + 2 + 3 + n}{4}=2$，解得$n = 2$。
这组数据为1,2,3,2，方差为$\frac{1}{4}[(1 - 2)^2+(2 - 2)^2+(3 - 2)^2+(2 - 2)^2]=\frac{1}{2}$。
2；$\frac{1}{2}$

9. 若一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$的方差是 2,则数据$x_{1}+5,x_{2}+5,x_{3}+5,...,x_{n}+5$的方差是______2.

答案： 解：设原数据的平均数为$\overline{x}$，方差为$s_{1}^{2}=2$。
新数据的平均数为$\overline{x}+5$。
新数据的方差：
$\begin{aligned}s_{2}^{2}&=\frac{1}{n}[(x_{1}+5-(\overline{x}+5))^{2}+(x_{2}+5-(\overline{x}+5))^{2}+\cdots+(x_{n}+5-(\overline{x}+5))^{2}]\\&=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]\\&=s_{1}^{2}\\&=2\end{aligned}$
故答案为 2。

10. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会,组织了 6 次预选赛,其中甲,乙两名运动员较为突出,他们在 6 次预选赛中的成绩(单位：秒)如下表所示：
| 甲 | 12.0 | 12.0 | 12.2 | 11.8 | 12.1 | 11.9 |
| 乙 | 12.3 | 12.1 | 11.8 | 12.0 | 11.7 | 12.1 |
由于甲、乙两名运动员的成绩的平均数相同,学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔,那么被选中的运动员是______甲.

答案： 解：甲的平均成绩：$\frac{12.0 + 12.0 + 12.2 + 11.8 + 12.1 + 11.9}{6} = 12.0$（秒）
乙的平均成绩：$\frac{12.3 + 12.1 + 11.8 + 12.0 + 11.7 + 12.1}{6} = 12.0$（秒）
甲的方差：$\frac{(12.0 - 12.0)^2 + (12.0 - 12.0)^2 + (12.2 - 12.0)^2 + (11.8 - 12.0)^2 + (12.1 - 12.0)^2 + (11.9 - 12.0)^2}{6}$
$= \frac{0 + 0 + 0.04 + 0.04 + 0.01 + 0.01}{6} = \frac{0.1}{6} \approx 0.017$
乙的方差：$\frac{(12.3 - 12.0)^2 + (12.1 - 12.0)^2 + (11.8 - 12.0)^2 + (12.0 - 12.0)^2 + (11.7 - 12.0)^2 + (12.1 - 12.0)^2}{6}$
$= \frac{0.09 + 0.01 + 0.04 + 0 + 0.09 + 0.01}{6} = \frac{0.24}{6} = 0.04$
因为$0.017 ＜ 0.04$，甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩更稳定。
甲

11. 某商场新进了一批直径为 12 mm 的螺丝,从中抽取了 20 个螺丝,并规定它们的标准差若大于 0.2 mm 就可以要求退货,这 20 个螺丝的直径(单位：mm)如下：
11.8,11.7,12.0,12.1,12.3,12.2,12.0,11.5,12.3,12.1,
12.0,12.2,11.9,11.7,11.9,12.1,12.3,12.4,11.8,11.9.
该商场是否可以要求退货？

答案： 解：首先计算这20个螺丝直径的平均数$\overline{x}$。
$\begin{aligned}\overline{x}&=\frac{1}{20}×(11.8 + 11.7 + 12.0 + 12.1 + 12.3 + 12.2 + 12.0 + 11.5 + 12.3 + 12.1 + 12.0 + 12.2 + 11.9 + 11.7 + 11.9 + 12.1 + 12.3 + 12.4 + 11.8 + 11.9)\\&=\frac{1}{20}×240\\&=12(\text{mm})\end{aligned}$
然后计算方差$s^2$，再求标准差$s$。
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{20}×[(11.8 - 12)^2 + (11.7 - 12)^2 + (12.0 - 12)^2 + (12.1 - 12)^2 + (12.3 - 12)^2 + (12.2 - 12)^2 + (12.0 - 12)^2 + (11.5 - 12)^2 + (12.3 - 12)^2 + (12.1 - 12)^2 + (12.0 - 12)^2 + (12.2 - 12)^2 + (11.9 - 12)^2 + (11.7 - 12)^2 + (11.9 - 12)^2 + (12.1 - 12)^2 + (12.3 - 12)^2 + (12.4 - 12)^2 + (11.8 - 12)^2 + (11.9 - 12)^2]\\&=\frac{1}{20}×[0.04 + 0.09 + 0 + 0.01 + 0.09 + 0.04 + 0 + 0.25 + 0.09 + 0.01 + 0 + 0.04 + 0.01 + 0.09 + 0.01 + 0.01 + 0.09 + 0.16 + 0.04 + 0.01]\\&=\frac{1}{20}×1.12\\&=0.056\end{aligned}$
$s = \sqrt{0.056} \approx 0.2366(\text{mm})$
因为$0.2366 ＞ 0.2$，所以该商场可以要求退货。
答：该商场可以要求退货。

12. 省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛,对他们进行了 6 次测试,测试成绩如下表(单位：环)：
| | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | 第六次 |
| 甲 | 10 | 8 | 9 | 8 | 10 | 9 |
| 乙 | 10 | 7 | 10 | 10 | 9 | 8 |
(1)根据表格中的数据,计算出甲的平均成绩是9环,乙的平均成绩是9环；
(2)分别计算甲、乙 6 次测试成绩的方差,你认为推荐谁参加全国比赛更合适？请说明理由.
解：甲的方差计算：
$\begin{aligned}\overline{x}_{甲}&=9\\s^{2}_{甲}&=\frac{1}{6}[(10-9)^{2}+(8-9)^{2}+(9-9)^{2}+(8-9)^{2}+(10-9)^{2}+(9-9)^{2}]\\&=\frac{1}{6}[1+1+0+1+1+0]\\&=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\end{aligned}$
乙的方差计算：
$\begin{aligned}\overline{x}_{乙}&=9\\s^{2}_{乙}&=\frac{1}{6}[(10-9)^{2}+(7-9)^{2}+(10-9)^{2}+(10-9)^{2}+(9-9)^{2}+(8-9)^{2}]\\&=\frac{1}{6}[1+4+1+1+0+1]\\&=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\end{aligned}$
因为$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$，甲的成绩更稳定，所以推荐甲参加全国比赛更合适.

答案：
(1) 9；9；
(2) 解：甲的方差计算：
$\begin{aligned}\overline{x}_{甲}&=9\\s^{2}_{甲}&=\frac{1}{6}[(10-9)^{2}+(8-9)^{2}+(9-9)^{2}+(8-9)^{2}+(10-9)^{2}+(9-9)^{2}]\\&=\frac{1}{6}[1+1+0+1+1+0]\\&=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\end{aligned}$
乙的方差计算：
$\begin{aligned}\overline{x}_{乙}&=9\\s^{2}_{乙}&=\frac{1}{6}[(10-9)^{2}+(7-9)^{2}+(10-9)^{2}+(10-9)^{2}+(9-9)^{2}+(8-9)^{2}]\\&=\frac{1}{6}[1+4+1+1+0+1]\\&=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\end{aligned}$
因为$s^{2}_{甲}＜s^{2}_{乙}$，甲的成绩更稳定，所以推荐甲参加全国比赛更合适.